864 华南理工大学 2018年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 （请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：高等代数 适用专业：基础数学, 应用数学, 计算数学, 概率论与数理统计, 运筹学与控制论 共2页 1. (20分) 设f (x), g(x) ∈ P [x], d(x) = (f (x), g(x)) ∂( g(x) ) ≥ 1, 则存在唯一的u(x), v(x) ∈ P [x] 使得 u(x)f (x) + v(x)g(x) = d(x), 这里∂(u(x)) < ∂( d(x) ), ∂(v(x)) < ∂( d(x) ). g(x) f (x) f (x) ≥ 且∂( )d(x) 1, 2. (20分) 计算n阶行列式: 1 n−2 n−1 S · ·a1 a2a a+ 11 a1 1 · S n−2 n−1 1 a2 a22 2 2 · ·aa+a2 D n = · · · · · · · S 1 an a2 n−2 n−1 n · ·an an +an 这里S nn a. = i=1 i 1 1 1 1 1 1 −1 −1 3. (20分) 己知A = 1 −1 1 −1 . 1 −1 −1 1 (1) 求A−1; (2) 若AB − A = B, 求 , 第 1 页 4. (20分) 己知A为m × s, B为m × n矩阵. (1) 证明：矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是r(A, B) = r(A); (2) 试问：矩阵方程XA = B有解的充分必要条件是什么？ 5. (20分) 设A为数域P 上的线性空间V 的线性变换, f (x) ∈ P [x]使得f (A) = 0, f (x) = f1(x)f2(x) · · · fs(x) 且f1(x), f2(x), ..., fs(x) 两两互素. 令Vi = (fi(A))−1(0), i = 1, 2, ..., s. 证明：V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vs. 6. (15分) 设线性方程组 x1 + x3 = 0, x+ x = 0 2 4(1) 的解空间为W , 求：向量α = (2, 3, 4, 5)在W 上的内射影以及α到W 的距离. ⊥(注: 由分解式V = V1 ⊕ V 对任意α ∈ V 有α = α1 + α2, α1 ∈ 1 , V ⊥α2, ∈ V 1 , 称α1为向量α在子空间V1上的内射影.) 2 2 2 7. (15 , x2 , x3 ) = x1 − 4x1 分) 设二次型f (x1 x2 x3 + x2 + x3 − 4x1 2axx+通过正交线性替换x = P y化成标准型f = 3y2 + 3y2 + by2,求a, b231 2 3 值及正交矩阵P . 8. (20分) 设A为n × n实矩阵, k为自然数, 满足Ak = 0, 证明: An = 0. 第 2 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f235ced13a3567ec102de2bd960590c69fc3d85d.html