养鱼问题数学模型
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楚雄师范学院 2011年数学建模培训第一次测试论文 题 目 ： 姓 名 ： 系（院） ： 专 业： 养鱼问题的数学模型 数 学 系 数学与应用数学 2011年 5月8日 养鱼问题的数学模型 摘 要：本文是根据原有的合理条件假设之下，结合我们现实生活中的实际问题，忽略部分次要因素，建立解决养鱼方案的优化模型问题。笔者从几个简单的侧边具体描述和合理设计了三个基本的养育优化模型，都从不同方面反映了养鱼优化模型问题。由于养鱼问题的复杂性、多变性、多样性，我们不得不忽略了部分养鱼的因素，并应用最优化、线性规划和动态规划模型给予以解决我们的养鱼最优化问题。 关键词：养鱼模型、最优化、动态规划、线性规划、最大利润 1 一、问题重述 设某地有一池塘，其水面面积约为100×100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 ① 鱼的存活空间为1kg /m2； ② 每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼； ④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg； ⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥若q为鱼重，则此种鱼的售价为： q0.20元/kg6元/kg0.2q0.75Q 8元/kg0.75q1.510元/kg1.5q2⑦该池内只能投放鱼苗。 二、问题分析 本题主要是设计一个可以获得最佳的养鱼方案，我们知道鱼塘的面积，鱼的存活空间，不考虑鱼的繁殖与死亡，每1kg鱼每天需要的饲料以及鱼长成成鱼的时间以及不同质量鱼的价格，将鱼的价位与鱼的“培养”时间联系起来，构建一个价格体系，绘制鱼的增长曲线图（图1），分析鱼的价值取向来考虑和设计一个最佳的养鱼方案。 2 但由于养鱼问题的复杂性，我们忽略了部分影响养鱼的因素，并应用线性规划和动态规划模型予以解决我们的养鱼问题。 三、模型假设 1、该池内只能投放鱼苗。而且不考虑鱼的繁殖与死亡； 2、鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg； 3、鱼的存活空间为1kg /m2；每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg；鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼 4、假设鱼在生长过程中没有出现过变异，每条鱼的生长都服从生长系数。 5、假设我们在捕鱼的过程中，鱼都是新鲜的，可以买到题目所给的价格。 6、假设每天捕的鱼都能够正常卖出，没有鱼残留下来。 7、放养鱼苗和捕鱼在一年四季都能进行，不受时间、季节的限制。 8、放入的鱼苗不受个体差异的影响，都能按照题目所给的条件生长，同时放入的鱼苗在相同的时间内能长到同样大。 9、市场上鱼的售价和饲料的售价在三年之内没有发生变化。 3 四、符号说明 以下为文本中使用的符号： （1）a0 ：最初放入的鱼的数量。 （2） ：鱼每天增重的比例。 （3）mt ：每条鱼在养殖t天的条件下的重量。 （4）ct ：每条鱼在养殖t天的条件下需要的饲料费用。 （5）M ：三年的收益总额。 （6）t ：每条鱼在养殖t天时平均每天产生的利润。 （7）a ：每天放入的鱼苗数目。 （8）qt ：每条鱼在养殖t天的条件下的重量。 五、模型构成与求解 模型一（基本养殖模型） 假设将鱼苗一次性放入鱼塘，等到年终长成成鱼是一次性卖出，第二年、第三年都分别按照第一年的方案。 根据鱼塘的容量，等到鱼长成成鱼时的质量为2kg，每条鱼的存活空间为1 kg/m2,则我们设最初放入的鱼的数量为aa， a0=10000/2=500(条) …………………………………..（1） 设鱼每天增重的比例为，则 1000/500(1)365=2000 ………………………………… (2) 化简可以得到 =36510001 ………………………（3） 用MATLAB计算（1）可以求出=0.0191……………….(4) 4 设养殖t天的条件下每条鱼的重量为mt，则 mt=1/500(1)t ………………………….. (5) 设每条鱼在养殖t天的条件下需要的饲料费用为ct ct=1/500(1)0.050.23/2500(1) ………………(6) i1i1titi设三年的收益总额为M，则 M=105000235000ct3 …………………….（7） 通过计算可以得出最大利润为： M=310000031918189678 …………………….（8） 故在这个模型的状态和条件下养鱼，三年可以获得的收益为189678元。 模型二（利润规划模型） 由模型一我们知道，=0.0191 每条鱼在养殖t天的条件下的重量为qt我的们可以将其价位与鱼“培养”时间联系起来。 q0.20元/kg6元/kg0.2q0.75Q=Q …………………………(9) 8元/kg0.75q1.510元/kg1.5q2代入（5）式qt=5001t输入数据求解（2），我们可以得到 表1：鱼的重量和养殖时间的关系表 鱼的重量q (kg) 养殖时间t （天） 饲料款（元） 0.2 243 0.629 0.75 313 1.5 349 2 365 2.3379 4.7145 6.3835 我们为了更好的观察鱼的重量和养殖时间的关系，用MATLAB绘制 5 图表（3） 54.543.5x 105鱼的生长重量与时间关系图鱼的生长重量32.521.510.50050100150200250鱼的生长时间300350400已知鱼的售价，故可知养殖t天的每条鱼平均每天产生的利润率为t t=（qtQ-ct）/t ………………………………（10） 由题目的各种已知条件和约束条件，我们只需要求Max(qtQct)t（11） 通过对约束条件用MATLAB求解（1），我们可以得到maxi=0.0065，其对应的天数为365天。故把鱼养到365天2 kg时出售的每条鱼平均每天产生的利润最高，所以应将每条鱼全养到2 kg。故每条鱼的利润为a a=1020.060.021 …………………….（11） i1365计算可得：每条鱼的平均利润为13.6165元 如果年前把5000条鱼养进池塘，年终把鱼收获，可以获得的收益为： 6 13.616550003204247.5元 模型三（分配养鱼模型） 在模型二中，我们可以从另外一个角度考虑问题，我们知道已知池塘的面积为10010010000（平方米）且每平方米容纳1公斤鱼，鱼可以四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，所以，应在尽可能长的时间里保持池塘内有尽可能多的鱼（保持总重略小于10000公斤），且最后一天应将所有鱼尽可能捞出，故每天投入与捞取的尾数应相同，且在最后365天中不再增加鱼苗，保持鱼塘内有同一批5000条鱼苗。那么，第365天时出第一批鱼，且此时池塘应趋于饱和，最后一天出5000条，合10000kg成鱼。 设前期每天投入a条鱼苗，则第365天时有 a0.0021000136510000 ………………………... （12） 结果计算 可得，每天放的条数为a=94 我们可以根据动态规划模型，设计三年养殖具体方案及利润如下： 表2 养鱼问题的动态规划模型 时间安排 Day366~day735 Day736 Day737~day1094 Day1095 具体实施方案 每天投入鱼苗94尾，喂食，取2kg成鱼94尾 投鱼苗5000尾，喂食，取2kg成鱼94尾 每天喂食，取2kg成鱼94尾 取2kg成鱼5000尾 7 根据共得到2kg成鱼73620尾，合147240kg，毛利1472400.00元。 由求和不难得到三年总的饲料价格：469953.27元，故最大净利润为1002446.73 元！ 六、模型评价 本文是根据原有的条件假设之下，结合现实生活中的实际情况，忽略部分次要因素，建立解决养鱼问题的数学模型。模型一种讲的是计算出一一整年鱼塘中可以养的鱼的数量，计算出鱼长成成鱼后的利润；这个模型是最基本得模型。但在现实生活中不可取，因为在鱼1到242天以及243到313之间还存在一些空间，这样会有很大的浪费。模型二是根据题目所给的价位表，我们将其价位与鱼的“培养”时间联系起来，构建一个价格体系，绘制鱼的增长曲线图（图一），分析鱼的价值取向，最终养殖t天的每条鱼平均每天产生的利润率，确定获得最大利润时鱼的质量以及鱼的平均利润，将鱼的平均利润和鱼的数量 简单相乘得到一个三年的收益额。而模型三是在模型二的基础上，确定每天向鱼塘里放一定的鱼苗，根据约束条件，计算出最大放入池塘鱼的数量，将其应用动态规划模型，确定一个养鱼方案，获得最大的利润。360天似乎还有空间，即可以初期多放一些鱼苗，在240天~359天的区间，即0.2~2.0 kg区间内出售一些。 8 七、参考文献 [1]李德.数学建模案例分析[J] .北京：海洋出版社，2000年 [2程理民.实用运筹学[M] .上海:复旦大学出版社,1998年 [3]何坚勇.数学建模[J] .北京:高等教育出版社,2003年 [4]朱道元.数学寂建模案例精选.北京：科学出版社，2003 [5]钱顷迪.运筹学.北京:清华大学出版社,1990 9 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/fed1d87a74232f60ddccda38376baf1ffc4fe3b5.html