一、曲线与方程
1.已知曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,则下列命题正确的是( )
A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上
B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
C.曲线C是满足方程f(x,y)=0的曲线
D.方程f(x,y)=0的曲线包含曲线C上任意一点
2.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么下列结论正确的是( )
A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0
B.凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x,y)=0
D.不在曲线C上的点的坐标有的适合方程f(x,y)=0,有的不适合方程f(x,y)=0
3.等腰△ABC中,若底边两端点坐标分别是B(4,2),C(-2,0),则顶点A的轨迹方程是( )
A.x-3y+2=0(x≠1) B.3x―y―2=0(x≠1)
C.3x+y-4=0(x≠1) D.3x-y+1=0(x≠1)
4.方程(|y|-x
)(x--y2)=0的曲线是图21中的( )
5.曲线x+y-4ax+2ay-20+20a=0(a∈R)恒过定点,则定点的坐标为 ________________________________。
220γχ 6.由动点p向 + = 1 引两条切线PA、PB,切点为A,B, ∠APB=60 则22
p的轨迹方程___________________。
7.已知点A(-a,0),B(a,0)(a∈R),若动点C与点A、B构成直角三角形,试求直角顶点C的轨迹方程。
8.求由方程|2x+3|+|y-2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S。
3y=x-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单位长度 9.设曲线C的方程是
后得到曲线C1。
(1)写出的曲线C1方程;
tsA()
(2)证明曲线关于点22对称;
(3)如果曲线C1和C有且仅有一个公共点,证明:
参考答案
1.D (点评:曲线与方程的定义应包含两条:曲线上点的坐标都是方程的解,以方程的解为坐标的点都是曲线上的点,因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解,故以方程的解为坐标的点必都在曲线上,于是对照定义知,答案应选D)
2.C (点评:本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现,对于本题,设方程f(x,y)=0所表示的曲线为E,依题意有曲线E为曲线C的一部分,故不在曲线C上的点的必不适合方程f(x,y)=0) s=13t-t4,且t≠0。3.C (点评:设A(x,y),显然A不能是BC的中点,故x≠1,而且|AB|=|AC|,从而,化简得3x+y-4=0,选C,另一思路为:A
的轨迹为线段BC的中垂线,从而由点斜式亦可得出点A的轨迹方程)
21-y≥0,得-1≤y≤1,故排除A与C,另一方面,由曲线方程 4.D (点评:由(x+2)2+y2=(x-4)2+(y-2)2
x=-y2
,得曲线中x≥0,从而曲线应在y轴的右侧,于是排除B)
22x+y-20+(-4x+2y+20)a=0,曲线 5.(4,-2)(点评:将曲线方程变形为
恒过定点,说明它与a的取值无关,从而含a的系数为0,即-4x+2y+20=0,于是余下的项
x2+y2-20=0,解这个联立方程组,即得定点的坐标)
6. X^2 + y^2 = 4
222222x+y=a(y≠0)|CA|+|CB|=|AB| 7.(点评:设C(x,y),则可由,得
到关于x与y的方程,也可由CA⊥CB,得到它们的斜率的积的关系,然后将C的坐标代
入,得到关于x与y的方程)
⎛3⎫⎛3⎫5⎪ -,-1⎪ -,⎭为顶 8.9(点评:方程所表示的曲线是以(0,2),(-3,2),⎝2⎭,⎝2
1⨯3⨯6=9点的菱形,其两条对角线分别为3和6,从而面积为2)
9.(1)y=(x-t)-(x-t)+s。(2)点评:在曲线C上任取一点B1(x1,y1),它关3
tx1+x2sy1+y==B(x,y)2222,从而x1=t-x2,222于点A的对称点为,于是有,
y1=s-y2,将它们代入曲线C的方程得y2=(x2-t)3-(x2-t)+s,故B2(x2,y2)在
曲线C1上,同样可以证明,在曲线C1上的点关于A的对称点在曲线C上,因此,曲线C
与C1关于点A对称。(3)点评:因为曲线C1与C有且仅有一个公共点,故方程组
3⎧⎪y=x-x⎨3⎪⎩y=(x-t)-(x-t)+s有且仅有一组解,两式消去y并整理得:
3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0。该方程有关于x的一元二次方程(t≠0)有且仅有一个解,
43从而必有t≠0,且∆=9t-12t(t-t-s)=0,化简即得所证结论。
二、圆与方程
1.圆(x-2)+(y+3)=9的圆心坐标和半径分别是( ) 22
A.(2,-3)、3 B.(2,-3)、 C.(-2,3)、3 D.(-2,3)、
2.点P(m,5)与圆x2+y2=25的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
3.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程是( )
A.(x-1)2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1
D.x2+(y-1)2=1
4.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a>1或a>-1 D.a=±1
5.(2006重庆高考)以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=3
1、 答案:A
2、 分析:把点P(m,5)代入x2+y2=25,得m2≥0,所以在圆上或圆外。答案:D
3、 分析:圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,其半径不变,只求出圆心即可,而关于直
线y=-x对称,则横、纵坐标交换位置,并取相反数,由圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),知对称的圆心为(0,-1). 答案:C
4、 分析:由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1.所以-1<a<1.
答案:A
5、 分析:r=|3⨯2-4⨯(-1)+5|
+422=3.
答案:C
1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )
22 B.-<a<0 33
2C.-2<a<0 D.-2<a< 3A.a<-2或a>
2.过原点且在x,y轴上的截距分别为p,q(p,q均不为0)的圆的方程是( )
A.x2+y2-px-qy=0 B.x2+y2+px-qy=0
C.x2+y2-px+qy=0 D.x2+y2+px+qy=0
3.已知圆C的方程为f(x,y)=0,点A(x0,y0)是圆外的一点,那么方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是( )
A.与圆C重合的圆 B.过点A(x0,y0)与圆C相交的圆
C.过点A(x0,y0)与圆C同心的圆 D.可能不是圆
1、分析:由二元二次方程表示圆的条件,有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0.
解之,可得-2<a<
答案:D
2、分析:由题意知圆过原点,且在x,y轴上的截距分别为p、q,则圆的圆心坐标为(2. 3pq,)且22常数项为0.
答案:A
3、分析:设f(x,y)=x2+y2+Dx+Ey+F=0,则f(x0,y0)=x02+y02+Dx0+Ey0+F>0,从而f(x,y)-f(x0,y0)=x2+
y2+Dx+Ey+F-x02-y02-Dx0-Ey0-F=0,过点A(x0,y0)与圆C同心.
答案:C
1.(2006北京高考)平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( )
A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支
2.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+)2=1的切线方程中有一个是( )
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
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3.(2006江西高考)已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;
B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切;
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切.
其中真命题的代号是___________.(写出所有真命题的代号)
4.(2006上海高考)已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x-y-1=0的距离是___________.
5.(2006湖南高考)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[πππ5πππ,] B.[,] C.[,] D.[0,124121263
π] 2
1、答案:A
分析:圆心为(1,-),半径为1,故此圆必与y轴(x=0)相切.
2、答案:C
点评:本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.
3、分析:圆心坐标为(-cosθ,sinθ),d=
答案:BD
4、答案:|-kcosθ-sinθ|+k2=+k2sin(θ+ϕ)+k2=|sin(θ+φ)|≤1. 2 2
5、答案:B
1.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于( ) A. B.52 C.1 D.5 2
3.(2004全国高考Ⅲ,4)圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为( ) A.x+y-2=0 B.x+3y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-3y+2=0
答案:
1、分析:圆心到直线的距离为d=1+m,圆半径为m. 2
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2m2(m-2m+1)=2(m-1)≥0,
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案:C
2、分析:圆心到直线的距离为2
2,半径为2,弦长为2(2)2-(22
2)=.
答案:A
3、解法一:⎧⎪22
⎨x+y-4x=0,
⎪y=kx-k+3..解得x2-4x+(kx-k+)2=0.
⎩
该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k=3
3.
∴y-3=3(x-1),即x-3y+2=0.
解法二:∵点(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,
∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为(2,0),∴0-3
2-1·k=-1.
解得k=3,∴切线方程为x-3y+2=0.
答案:D
**圆与圆的位置关系
例1、已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系. 例2、求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.
图1
解: 例1、
方法一:圆C⎧⎪x2+y2+2x+8y-8=0,(1)
1与圆C2的方程联立得到方程组⎨⎪⎩x2+y2-4x-4y-2=0.(2)
①-②得x+2y-1=0, ③
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,把上式代入①并整理得x-2x-3=0. ④ 2
方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交.
方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.
圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5;
圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=.
22圆C1与圆C2的连心线的长为-1-2)+(-4-2)=35,圆C1与圆C2的半径长之和为
r1+r2=5+,
半径长之差为r1-r2=5-.
而5-<35<5+,即r1-r2<3<r1+r2,
所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A、B.
例2、将圆C化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,
则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有
⎧(0-a)2+(0-b)2=r2,⎧a=3,⎪⎪222解得(0-a)+(6-b)=r,⎨b=3, ⎨⎪⎪a-b=0,⎩r=32.⎩
于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.
**应用
1.过点P(6,-2)且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线的方程是…( )
A.2x+3y-6=0 B.2x+3y-6=0或3x+4y-12=0
C.x-y+3=0 D.x+2y-2=0或2x+3y-6=0
2.把直线y=x绕原点按逆时针方向旋转,使它与圆x2+y2+2x-2y+3=0相切,则直线旋转3
的最小正角是( ) A.ππ2π5π B. C. D. 3632
3.设A、B两点的坐标分别为A(-2,0)、B(2,0),条件甲:A、B、C三点构成以C为直角顶点的三角形;条件乙:点C的坐标是方程x2+y2=2的解.则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则( )
A.l∥g,且与圆相离 B.l⊥g,且与圆相切
C.l∥g,且与圆相交 D.l⊥g,且与圆相离
答案:DBAA
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