1.解:∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OPM和Rt△ONP中,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).
∴PM=PN(全等三角形的对应边相等).∴OP是∠AOB的平分线.
2.证明:∵AD是∠BAC的平分线,且DE,DF分别垂直于AB ,AC,垂足分别为E,F,∴DE=DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴EB=FC(全等三角形的对应边相等)
3.证明:∵CD⊥AB, BE⊥AC,∴∠BDO=∠CEO= 90°.
∵∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC
∴OD= OE.
∴AO是∠BAC的平分线.
∴∠1=∠2.
4.证明:如图12 -3-26所示,作DM⊥PE于M,DN⊥PF于N,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2.
又:PE//AB,PF∥AC,
∴∠1=∠3,∠2=∠4.
∴∠3 =∠4.
∴PD是∠EPF的平分线,
又∵DM⊥PE,DN⊥PF,∴DM=DN,即点D到PE和PF的距离相等.
5.证明:∵OC是∠ AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,∠OPD=∠OPE.
∴∠DPF=∠EPF.
在△DPF和△EPF中,
∴△DPF≌△EPF(SAS).
∴DF=EF(全等三角形的对应边相等).
6.解:AD与EF垂直.
证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴∠ADE=∠ADF.
在△GDE和△GDF中,
∴△GDF≌△GDF(SAS).
∴∠DGE=∠DGF.又∵∠DGE+∠DGF=180°,∴∠DGE=∠DGF=90°,∴AD⊥EF.
7,证明:过点E作EF上AD于点F.如图12-3-27所示,
∵∠B=∠C= 90°,
∴EC⊥CD,EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC,
∴EF=EC.
又∵E是BC的中点,
∴EC=EB.
∴EF=EB.
∵EF⊥AD,EB⊥AB,
∴AE是∠DAB的平分线,
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