九年级奥数竞赛题,九年级奥数试题证明题练习

1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高
求证：DC=AB+BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF=AB，连结AF，则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N
求证：AH=2MO，　BH=2NO
证明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG，BG
则BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO
证明二：(折半法――作出AH，BH的一半)
分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN
则FG=MN= AB，FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.　 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE=AD+AE，F是AB的中点
求证：∠DCE=2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明(略)自己完成
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，
求证：∠BIC=90 + ∠A
证明一：(由左到右)
∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB)
=180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A
=90 + ∠A
证明二：(左边-右边=0)
∠BIC-(90 + ∠A)
=180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A
=90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三：(从已知的等式出发，进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 　　∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB)
∠A=90 - (∠ABC+∠ACB)
90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB)，即∠BIC=90 + ∠A

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