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第一章 算法初步
1.1 算法与程序图框
1. 算法的含义:在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。
2. 例子:
1例1 任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
算法分析:根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤:
第一步:判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n>2,则执行第二步。
第二步:依次从2至(n-1)检验是不是n的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
2例2 用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。
算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤:
2第一步:令f(x)=x–2。因为f(1)<0,f(2)>0,所以设x1=1,x2=2。
第二步:令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则,则m为所长;若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步:若f(x1)·f(m)>0,则令x1=m;否则,令x2=m。
第四步:判断|x1–x2|<0.005是否成立?若是,则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解:第一步,②-①×2得5y=3;③
第二步,解③得y=3/5;
第三步,将y=3/5代入①,得x=1/5
学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方
A1xB1yC10(A1B2B1A20)的解的算法: 程组的解法。下面写出求方程组AxByC0222
第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③ 第二步:解③,得yA2C1A2C2; A1B2A2B1
第三步:将yA2C1A2C2B2C1B1C2代入①,得x。 A1B2A2B1A1B2A2B1
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒2的另一个算法: 第一步:取A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1;第二步:计算xB2C1B1C2ACA2C2与y21 A1B2A2B1A1B2A2B1
第三步:输出运算结果。
可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的值的算法。
解:算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“值”比较,如果它大于此“值”,这时你就假定“值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数,重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“值”就是这个序列中的值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+„+n=
根据加法运算律简化运算过程。
解:算法1:
S1:计算1+2得到3;
S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6;
S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10;
S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15;
S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2:
S1:取n=6;
S2:计算n(n1)进行,也可以2n(n1); 2
S3:输出运算结果。
算法3:
S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7;
S2:计算3×7;
S3:输出运算结果。
小结:算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1+2+3+„+10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法。
老师评一评 算法1;第一步,先求1×3,得到结果3;
第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;
第三步,再将15乘以7,得到结果105;
第四步,再将105乘以9,得到945;
第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果。
算法2:用P表示被乘数,i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11,则返回到S3继续执行;否则算法结束。
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法(打印结果)
1、解:算法如下
2S1 计算△=b-4ac
S2 如果△〈0,则方程无解;否则x1=
S3 输出计算结果x1,x2或无解信息。
2、解:算法如下:
S1 使i=1
S2 i被3除,得余数r
S3 如果r=0,则打印i,否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行,否则算法结束。
21、写出解不等式x-2x-3<0的一个算法。
2解:第一步:x-2x-3=0的两根是x1=3,x2=-1。
2第二步:由x-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -12评注:该题的解法具有一般性,下面给出形如ax+bx+c>0的不等式的解的步骤(为方
便,我们设a>0)如下:
第一步:计算△= b4ac; 2
第二步:若△>0,示出方程两根x1,2
{x | x>x1或xx2),则不等式解集为2a
b}; 2a第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R且x
第四步:若△<0,则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法:
第一步:取x1= a1,y1= b1,x2= a2,y1= b2;
第二步:若x1= x2;第三步:输出斜率不存在;
第四步:若x1≠x2; 第五步:计算ky2y1; x2x1
第六步:输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解:算法:第一步:取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步:计算yy1xx1; y2y1x2x1
第三步:在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m);
第四步:在第二步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0);
第五步:计算S=1|m||n|; 2
第六步:输出运算结果
3. 程序框图的概念:是一种用规定的图形,指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的
图形。
4. 基本概念:
(1)起止框图:


起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
(2表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内,它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由判断分出的两个分支中,它们表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值,右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果,即输出无法求解信息。
(3)处理框:1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值,第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。
(4)判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否”(也可用“Y”与“N”)两个分支,在图1-1中,通过判断框对D的值进行判断,若判断框中的式子是D=0,则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据;若D≠0,则由标有“否”的分支处理数据。例如,我们要打印x的绝对值,可以设计如下框图。

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