第1讲 集 合
一.【课标要求】
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn二.【命题走向】
的直观性,注意运用Venn预测2010题的表达之中,相对独立。具体题型估计为:
(1)题型是1个选择题或1(2
三.【要点精讲】
1
(1a的元素,记作aA;若b不是集合A的元素,记作bA;
(2
确定性:设x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A
指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或AB);
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作A B; (2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,CS={x|xS且xA}称SA的补集;
(3)简单性质:1)CS(CS)=A;2)CSS=,CS=S
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合BA与B的交集。交集AB{x|xA且xB}。
(2)一般地,由所有属于集合AA与B的并集。并集AB{x|xA或xB}
的关键是“且”与“或”挖掘题设条件,结合Venn
5.集合的简单性质:
(1)AAA,BBA;
(2)ABBA;
(3)(AAB);
(4)ABABA;ABABB;
(5)CS(A∩B)=(CSA)∪(CSB),CS(A∪B)=(CSA)∩(CSB)。
四.【典例解析】
题型1:集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
答案 :12解析 设两者都喜欢的人数为x人,则只喜爱篮球的有(15x)人,只喜爱乒乓球的有
由此可得(15x)(10x)x830,解得x3,所以15x12,即 所(10x)人,
求人数为12人。 例1.(2009广东卷理)已知全集UR,集合M{x2x12}和
N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
( )
A. 3个C. 1个答案解析 由
例2.的值 为 答案 D
解析 ∵D.
,
题型2:集合的性质
2例3.(2009山东卷理)集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
2 ( ) a216解析 ∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
a4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
随堂练习
1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x
2+ x-6=0},则下图中阴影表示的集合为 ( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0},若2222 A∩B≠φ,则实数a的取值范围为( ).
解
A∩B=φa由a∴a即A∩B其补集,评注
例4.已知全集S{1,3,x3x22x},A={1,2x}如果CSA{0},则这样的实数x是否存在?若存在,求出x,若不存在,说明理由
解:∵CSA{0};
∴0S且0A,即xx2x=0,解得x10,x21,x32
当x0时,2x1,为A中元素;
当x1时,2x3S当x2时,2x3S
∴这样的实数x存在,是x1或x2。
另法:∵CSA{0}
∴0S且0A,3A
∴xx2x=0且2x3
∴x1或x2。
点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时,322x1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA{0}是两层含义:
0S且0AB,求q的值。解:由m(1)m解(1)得解(2)得又因为当q所以,q题型3例5.A,函数g(x)(1)求集合A、B
(2)若AB=B,求实数a的取值范围.
解 (1)A=x|x1或x2
B=x|xa或xa1
(2)由AB=B得Aa1B,因此a12所以1a1,所以实数a的取值范围是1,1
例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则AICNB( )
A.1,5,7 B.3,5,7
C.1,3,9 D.1,2,3
答案 A
解析 易有ACNB1,5,7,选A
题型4例7.(1,则
MN)
A.C. 答案
例8设全集合B{x|解:|a1∴Acosx1,x2k,∴x2k(kz)
∴B{x|x2k,kz}
当a1时,CA[a2,a]在此区间上恰有2个偶数。
a12a0 aa2
4a222、Aa1,a2,,2,,k),由A中的元素构成两个相应,ak(k≥2),其中aiZ(i1
的集合:
S(a,b)aA,bA,abA,T(a,b)aA,bA,abA.其中(a,b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的aA,总有aA,则称集合A具有性质P.
(I)对任何具有性质P的集合A,证明:n≤k(k1); 2
(II)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
解:(I
因为0又因时,(aj,即n≤(II(1T. 如果(ab故(a可见,(2)对于(a,b)T,根据定义,aA,bA,且abA,从而(ab,b)S.如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素,那么ac与bd中至少有一个不成立,从而abcd与bd中也不至少有一个不成立,
故(ab,b)与(cd,d)也是S的不同元素.
可见,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m,
由(1)(2)可知,mn.
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
解:赞成A的人数为50×3=30,赞成B的人数为530+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
不赞成的学生人数为事合都x+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为3
x33-x。依题意(30-x)+(33-x)+x+(
+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人,例10 -(200+(200题型7例11a解:由由2x1<1,得<0,即-2
a23因为AB,所以
点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,Sn1)|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}。 4n试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。
n(a1an)SS1
,则n(a1+an),这表明点(an,n)的2n2n
S111
坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。
222n
11yxa122(2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组1
x2y21解:(1)正确;在等差数列{an}中,Sn=消去y得:当a1当a1,故
∴A∩(3A据(2)样的(x0,y0)的。
的取值范围.
分析:关键是准确理解AB 的具体意义,首先要从数学意义上解释AB意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解:
的
命题方程x22x2m40至少有一个负实数根,
设M{m|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数}, 4(2m3)03
则x1x2202m,
2
x1x22m40
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33
M{m|2m设全集U{m|0}{m|m
22
m的取值范围是
UM={m|m<-2}.
(解法二)命题方程的小根x12m302m312m31m2.
(解法三)设f(x)x22x4,这是开口向上的抛物线,其对称轴x10,则二次函数性质知命题又等价于f(0)0m2,
注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。
(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
B{a1,a2,a3,a4},其中a1a2a3a4
若AB{a1,a4},且a1a410,且AB,A、B.
注意“正整数”这个条件的运用,
2222
1a1a2a3a4,a1a2a3a4,AB{a1,a4},只可能有a1a1a12
而a1a410,a49,a4a,
2(1)若a2a4,则a23,AB{a3,},
2
2
222
a3a394124a35;
(2)若a3a4,则a33,a23,与条件矛盾,不合;综上,A{1,3,5,9},B,81(Ⅲ)设集合A1},B{(x,y)|4x2x2y50},
2
2
2
C{(x,y)k,b,使(AB)C分析:正确理解(AB)C
,
,并转化为具体的数学问题.
,必须AC
且BC
,
要使(AB)C(AC)(BC)
y2x1由k2x2(2kb1)xb210, ykxb
当k=0时,方程有解xb1,不合题意;
2
4k21
当k0时由1(2kb1)4k(b1)0得b①
4k
2
2
2
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4x22x2y50又由4x22(1k)x52b0,
ykxb
20(k1)2
由24(1k)16(52b)0得b②,
8
2
由①、②得bk
1201,而b, 4k8
∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1
点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 题型6
例13B={C={D={则集合A、例14[1,2],都有(2x,都有
|(2x1)(1)设(2)设0000(3)设(x)A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xkl
解:
对任意x[1,2],(2x)2x,x[1,2],3(2x)5,152,所以
Lk1
xk||x2x1|H。
1L
(2x)(1,2)
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对任意的x1,x2[1,2],
|(2x1)(2x2)||x1x2|
3
2
12x12
12x11x21x22
,
12x12
12x11x21x2,
3 所以0<
2
12x12
12x11x21x22
2,
3
0|LK1x2x1。 1L
点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中,题目比较新颖
五.【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。
1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、
、、=、CSA、∪,∩等等;
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2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解);
3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
③若集合A中有n(nN)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2,所有真子集
n
A的 ;
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