先看一个游戏:有n+1个空格排成一行,第一格中放入一枚棋子,甲乙两人交替移动棋子,每步可前移1,2或3格,以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?
取胜之道是:你只要设法使余下的空格数是4的倍数,以后你的对手若走i格(i=1,2,3),你走4-i格,即每一次交替,共走了4格.最后只剩4个空格时,你的对手就必输无疑了.因此,若n除以4的余数是1,2或3时,那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话,那么后走者乙胜.
在这个游戏里,我们可以看出,有时我们不必去关心一个数是多少,而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如,1999年元旦是星期五,1999年有365天,365=7×52+1,所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中,我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.
同余,顾名思义,就是余数相同.
定义1 给定一个正整数m,如果用m去除a,b所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作
a≡b(modm),
并读作a同余b,模m.
若a与b对模m同余,由定义1,有
a=mq1+r,b=mq2+r.
所以 a-b=m(q1-q2),
即 m|a-b.
反之,若m|a-b,设
a=mq1+r1,b=mq2+r2,0≤r1,r2≤m-1,
则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1,故r1-r2=0,即r1=r2.
于是,我们得到同余的另一个等价定义:
定义2 若a与b是两个整数,并且它们的差a-b能被一正整数m整除,那么,就称a与b对模m同余.
同余式的写法,使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的性质,最简单的就是下面的定理1.
定理1 (1)a≡a(modm).
(2) 若a≡b(modm),则b≡a(modm).
(3) 若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).
在代数中,等式可以相加、相减和相乘,同样的规则对同余式也成立.
定理2 若a≡b(modm),c≡d(modm),则
a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).
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