圆的标准方程 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程. （2）会用待定系数法求圆的标准方程. 2．过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3．情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣. （二）教学重点、难点 重点：圆的标准方程 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程. （三）教学过程 教学环节 教学内容 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它设置情境引入复习引入 的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否由学生回答，然后引入课题 课题 师生互动 设计意图 也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？ 确定圆的基本条件为圆心和引导学生自己证明(x – a)2 + 半径，设圆的圆心坐标为A(a，(y – b)2 = r2为圆的方程，b)，半径为r (其中a、b、r得出结论. 都是常数，r＞0)设M (x，y)方程②就是圆心为A (a，b)为这个圆上任意一点，那么点半径为r的圆的方程，我们把M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件 概念形成 (xa)(yb)r ① 22它叫做圆的标准方程. 通过学生自己证明培养学生的探究能力. 化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2② 6 – – 4 – – 2 – – – –2 – – –4 – – – A M 5 –5 例1 写出圆心为A (2，–3)引导学生分析探究 半径长等于5的圆的方程，并从计算点到圆心的距离入手. M2(5,1)判断点M1(5，–7)，例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方是否在这个圆上. 分析探求：可以从计算点到圆程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25. 心的距离入手. 把M1 (5，–7)，M2 (5，–1) 探究：点M(x0，y0)与圆(x – 的坐标代入方程(x –2)2 + (y a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法： +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2点M2在这个圆上；把M2 (5，＞r，点在圆外. 应用举例 （2）(x0 – a) + (y0 – b)= r2，点在圆上. 22 2–1)的坐标代入方程(x – 2) + (y +3) =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合22通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法. （3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 圆的方程，所以M2不在这个圆＜r2，点在圆内. 上 例2 △ABC的三个顶点的坐标师生共同分析：从圆的标准方是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，程(x – a)2 + (y – b)2 = r2– 8). 求它的外接圆的方程. 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r例2 解：设所求圆的方程是三个参数，(学生自己运算解(x– a) + (y – b) = r. 决) ① 因为A (5，1)，B (7，–3)，222C (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 (5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r 222(2a)(8b)r解此方程组，得 a2b32r25 所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例3 已知圆心为C的圆C. 经师生共同分析：如图确定一个过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在 图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点l : x – y + 1 = 0上，求圆A(1，1)和B(2，–2)，由于心为C的圆的标准方程. 圆心C与A、B两点的距离相比较例(2)、例（3）可得出△等，所以圆心C在线段AB的ABC外接圆的标准方程的两种垂直平分线m上，又圆心C在求法： 直线l上，因此圆心C是直线①根据题设条件，列出关于a、l与直线m的交点，半径长等b、r的方程组，解方程组得到于|CA|或|CB|.(教师板书解a、b、r得值，写出圆的根据题过程) 确定圆的要素，以及题设条A 件，分别求出圆心坐标和半径C m B 大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本P127 第1、3、4例3 解：因为A (1，1)，B (2，题 – 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率 3212kAB =21= –3， 21因为线段AB的垂直平分线l′的方程是 y +11(x3)， 232即x –3y –3 = 0. 圆心C的坐标是方程组 x3y30的解. xy10解此方程组，得 x3 y2所以圆心C的坐标是(–3，–2) . 圆心为C的圆的半径长 r =|AC|=(13)2(12)2= 5. 所以，圆心为C的圆的标准方程是 (x + 3)2 + (y +2)2 =25. 1．圆的标准方程. 2．点与圆的位置关系的判断教师启发，学生自己比较、归归纳总结 方法. 纳. 3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 布置作业：见习案4.1第一课课外作业 时 备选例题 例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 （1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2； （2）圆心为(–2，1)，半径为|a|. 例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程. 解法1：设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = (2a)2(3b)2r2由条件知(2a)2(5b)2r2 a2b30a1解方程组得b2 2r10形成知识体系 学生独立完成 巩固深化 r2 即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10 解法2：kAB，AB的中点是(0，–4)， 12所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由x2y30x1得 2xy40y2因为圆心为(–1, –2 )又r(21)2(32)210. 所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程. 【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值. |PA|10,|PB|13,|PC|25. 因为|PA|＜|PB|＜|PC| 所以圆的半径r|PB|13. 故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0417fd475bfafab069dc5022aaea998fcc224063.html