2019年南开大学数学试点班自主招生考试题 南开大学数学试点班自主招生考试题（A卷） 总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30 一．填空题（每小题7分，共70分） rrrrrr1．若单位向量a，b满足|2a3b|10，则|3a2b| ． 22．若非零复数z满足|z|z(1i)z0，则复数z的实部为 ． 3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个． 4．在三棱锥PABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA3，PB4，PC5，则三棱锥 PABC的体积VPABC ． 5．在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是 ． ①sinBcosC；②sinAsinBsinC；③tanBtanC2；④sinBsinC2． 6．已知函数f(x)为周期为3的奇函数，且f(1)0，则f(x)在区间[0,3)上至少有 个零点． x2y21焦点F(c,0)(c0)的直线yk(xc)(k0)交双曲线的两条准线于A、B7．过双曲线169两点，且以AB为直径的圆恰过原点O，则k ． 8．已知x,y(0,1)，且3x7y,5xy均为整数，则这样的(x,y)共有 对． x2xlnx有唯一解，则a的值为 ． 9．在区间(0,)上，若方程a10．已知x,y,z均为正数，且xyz1222444，xyz2，则xyz的最大值为 ． 2二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分） 1．设m,n为正整数，且mn．证明：对于任意连续n个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn的倍数． 2．设P为曲线2x5xy2y1上的动点，求点P到原点距离的最小值． 3．定义在(0,)上的函数f(x)满足：对任意的x,y，均有f(xy)f(xy)．证明：f(x)在(0,)上恒为常数． 4．设x,y(0,222)，且tanxtany3．证明：cosxcosycosxcosy． 2cos(xy)2019年南开大学数学试点班自主招生考试题 5．设nZ，且n2，ai(0,1](i1,2,L,n)，证明： nnai1ainai． a1a1i1i1ii1ii1nn2an6．已知a1(0,1)，an1an2，证明：存在M0，使得对任意的正整数n，有anM． n7．设集合A的元素个数为n，证明：存在集合A的一个子集B，满足：B的元素个数大于n，且对任意的x,yB，均有xyB． 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/07331a9b0e22590102020740be1e650e52eacfdd.html