丿
另外,当x
0,丄】, 1
0,1 上单调增, • f (x)在 宀】
— -a >0,故 f (x)在 < a丿
< a丿 f (x) =x < a丿
有一个零点
f(x)
a
1
a,
:=
f (e )=1 ne
a
1 a…
a-ae =a(a,-eJ
=a In e—ae
.4 -
a1
为此我们要证明:当
x > e 时e > x,设 h(x) =e -x2 ,则 h'(x) =ex - 2x , 再设
,
x2x
l(x) =ex -2x •- l'(x) =ex -2
当 x > 1 时,l'(x)
'
二 e
x
x
-2 > e-2 > 0, l(x)二 e-2x在 1, •::上是单调增函数
'
2
x
故当 x >2 时,h(x)二e -2x > h(2)=e -4>0 从而h(x) = e
- x在2,= 上是单调增函数,进而当x > e时,h(x) = e h(e)二 e
2x2「e > 0 即当 x > e时,e > x,
1 1 1 1
x2xe
当 0v a v — 时,即 a >e 时,f (e ) = lne
aa
-ae
a
alne-ae
a
二a(a^ -e丄)
a
e
又f『)=| n
-a1 =-1 na-1 > 0 且函数f (x)在b ' ,ea_上的图像不间断, a a a
1
1
a
, 1 , _a
(x__)
•••函数f (x)在a ',e—上有存在零点,又当x > —时,f (x)二 -------- - v 0故f (x)在
a x
a」,上是单调减函数.••函数
f (x)在a',r 只有一个零点
1
综合(I)
(n)(川)知:当a乞0时,f (x)的零点个数为1;当0 v a v —时,f (x)的
e
零点个数为2 导数2作业
1. (2014?青岛二模)如图,y=f (x)是可导函数,直线I是曲线y=f (x)在x=4处的切线, 令 g (x)=一:一—,贝V g( 4)=-一 .
z
16—
考点:导数的运算.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 先从图中求出切线过的点, 利用导数在切点处的导数值为斜率得到切线的斜率, 后结合导数的几何意义求出 f'( 4)的值,
f f Y)
xf;
( x) - f(X)
由 g (x) = ^ ^ ,则 g' (x)=
,进而得到 g' (4).
解答: 解:由图知,切线过(0, 3)、(4, 5), •直线I的斜率为一
4-0 2
由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率, 所以 f' (4) =_, f (4) =5.
2
令g( x)=」’,则g( x)=
匚….
4炖-5 故 g' (4)=
=—令 犷 16
最
故答案为:.
3
点评: 解决有关曲线的切线问题常考虑导数的几何意义: 切线的斜率.
曲线在切点处的导数值为曲线的
2. (2014?河南二模)已知 f ( x) =alnx+二,一 ■-,若对于?xi, X2 € (0, + ① 且 xi 孜2
都有
>4,则a的取值范围是
(4, +8)
2X
考点: 导数的几何意义;导数的运算. 专题: 导数的概念及应用.
分析: 求出f (x)的导数f' (x),根据题意,f'(x) > 4,求出a的取值范围. 解答:解:根据题意, ■/f (x) =alnx+ 1 -,其中 x>0,
2
f(x) =—+x=
2
i「>4,
2
X x
即 a>4x - x=4 -( x - 2) ;
2
••• 4 -( x - 2)詔,当且仅当x=2时,取=”, ••• a> 4;
.a的取值范围是(4, + ^). 故答案为:(4, + ^).
点评: 本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题, (x) > 4,从而使问题得以解答.
3. (2014?苏州一模)函数 y=ex - lnx的值域为 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的值域. 专题:导数的综合应用.
分析: 本题考查了函数的单调性,函数的值域,利用导数来判断函数的单调性. 解答: 解:定义域为(0 ,+8),卩广二^—丄=竺2,当0
X X
解题时应根据导数的概念,化为f'
[2 , +呵 .
时yV 0,当2<X<+8
E
e
时,y'> 0,
所以函数在区间(0「)上单调递减,在区间(丄I --)上单调递增,所以f(x)A•厂
-.:,
e
所以函数的值域为[2, +8). 故答案为:[2 , + 8).
e e
点评: 利用导函数的正负性判断函数的单调性, 域.
是常考的一种题型,注意要考虑函数的定 义
4、 已知函数f(x)=lnx •— ( m R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m二 __________ . - 3e
x
1 3 1 2 5、 (2015届江苏苏州高三 9月调研)函数f x;= ax ax - 2ax 2a 1的图象经过
3 2
四个象限的充要条件是
▲
- ::: a ::: -
63
5 16
3
2
6、 (江苏省阜宁中学 2014届高三第三次调研)若函数 f x二x • ax • bx • c有极值点
2
X1,X2,且f X1 =X1,则关于 x的方程3 f x 2af x b=0的不同实根个数是
7、某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4米,这种薄板须沿其对
角线折叠后使用.如图所示,
ABCD(AB AD)为长方形薄板,沿 AC折叠后,AB ■交DC于
点P.当厶ADP的面积最大时最节能,凹多边形ACB PD的面积最大时制冷效果最好. (1 )设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围; (2) 若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3) 若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
解:(1 )由题意, AB=x , BC=:2-x .因 x .2-x,故 1 ::: x ::: 2 . ...... 2 分 设 DP =y,贝U PC 二x_y .
因厶 ADP ◎△ CBP,故 PA = PC =x _y .
由 PA2
=AD2
DP2
,得 (x -y)2
=(2 -x)2
y2
= y =2(1 -1
) , 1 ::: x ::: 2 .……5 分 x (2 )记厶ADP的面积为S1,贝V
S (122
2 _2 2 ,
= -g)( - x) ....................................................... 6 分 =3 _(x )岂x 当且仅当x-、2 € (1, 2)时,S1取得最大值. ............................. 8分 故当薄板长为,2米,宽为2- ,2米时,节能效果最好. .............. 9分
(3) 记厶ADP的面积为§,贝V
3 Jx(2 -x) (1 -\(2 -x) =3-](x2 4
) , 1 < x ::: 2 . .......................... 10 分
2 x 2 x 于是, S2=_1
(2X -- ) =
f 2十
2
= 0二 x = *2 . ........................ 11 分
2 x
x
关于x的函数S(1,3
2)上递增,在(3
2在2,2)上递减. 所以当X=3
2时,S,取得最大值.
.................. 13分
故当薄板长为3
2米,宽为2-3
2米时,制冷效果最好.
................
& (2012年江苏高考)若函数 y = f (x)在X =X0处取得极大值或极小值,则称 x
0
为函数
y = f(x)的极值点。已知 a, b是实数,1和T是函数f(x)=x3 ax2 bx的两个极值点.
(1 )求a和b的值;
(2) 设函数g(x)的导函数g (x)二f (x) • 2,求g(x)的极值点;
(3) 设h(x)二f (f (x)) -c,其中[-2,2],求函数y =h(x)的零点个数. 解:(1 )由 f (x) =x3
ax2
bx,得 f'(x^3x2
2ax b。
•/ 1和-1是函数f(X)= x3 - ax2
bx的两个极值点,
••• f(1) =3 2a b=0 , f'(-1) =3 -2a b=0,解得 a=0, b= -3。
(2)v 由(1)得,f (x) =x -3x ,
3
2
3
• g (x) = f (x) 2=x - 3x 2= x - 1 i i x 2,解得为=x2 =1, x3= - 2。 •••当 x< ^2 时,g (x)< 0 ;当-2 < x< 1 时,g (x)> 0 , • x= -2是g(x)的极值点。
•••当-2 < x < 1 或 x > 1 时,g (x) > 0,• x=1 不是 g(x)的极值点。 • g(x)的极值点是一2。
(3) 令 f (x)=t,则 h(x)二 f (t) -c。
先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况:d 1-2, 2丨
当|d =2时,由(2 )可知,f(x)= -2的两个不同的根为I和一 2 ,注意到f(x)是奇函数, • f (x)=2的两个不同的根为一和 2。
当 d < 2 时,••• f(—1) —d = f(2) —d=2 —d > 0 , f (1) —d = f(―2) —d= —2 —d < 0 ,
• 一 2 , - 1, 1 , 2 者E不是 f(x)=d 的根。 由(1)知 f (x)=3 x 1 x -1 。
① 当2, •::时,
f'(x)> 0 ,于是f (x)是单调增函数,从而 f (x)> f (2)=2。
此时f(x)=d在2, •::无实根。
② 当 xG〕1, 2 时. f'(x)> 0 , 于是f(x)是单调增函数。 又• f(1)-d < 0 , f (2) -d >
,y=f (x) -d的图象不间断,
•• 0
• 1 F(x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,f(x)=d在(— 当X三1 1, 1③
时,
2 , 一 I )内有唯一实根。
f' (x) <
于是f (x)是单调减两数。 0 ,
又f(1) -d
-f (-1)-d> 0 , 0 , y=f (x) - d的图象不间断, •• < • 1 f(x)=d 在(一 1, 1 )内有唯一实根。
因此,当d =2时, f (x)=d有两个不同的根xb x2满足|x1 =1,
x2 =2 ;当 d < 2 时
f(x)=d有三个不同的根X3, Xi, X5,满足x < 2, i=3, 4, 5。
现考虑函数y =h(x)的零点:
(i )当c =2时,f(t)=c有两个根t, t?,满足 ti =,2 =2。
而f(x)=ti有三个不同的根, f(x)=t2有两个不同的根,故 y=h(x)有5个零点。 (11 )当 c < 2 时,f(t)=c有三个不同的根 t3, t4, t5,满足 ti <2,i=3, 4, 5。 而f (x)=ti i=3, 4, 5有三个不同的根,故 y=h(x)有9个零点。
综上所述,当c=2时,函数y=h(x)有5个零点;当c < 2时,函数y=h(x)有9个零点。 ★备用(南京市 2014届高三第三次模拟)已知函数 f(x)= Inx— mx ( m € R). (1) 若曲线y= f(x)过点P(1, — 1),求曲线y= f(x)在点P处的切线方程; (2) 求函数f(x)在区间[1, e]上的最大值; (3)
若函数f(x)有两个不同的零点 X1, X2,求证:X1X2>e.
4
3
解:(1)因为点P(1, — 1)在曲线y = f(x)上,所以—m = — 1,解得m= 1.
1
因为f'x(= - — 1,所以切线的斜率为 0,所以切线方程为 y=— 1. ................. 3分
X (2)因为 f'x)=丄—m = S.
x
x
① 当m < 0时,x€ (1, e), f'x)> 0,所以函数f (x)在(1, e)上单调递增,则f (x) max = f (e) =1 — me.
1 m
=f (e)= 1 — me. m w -时,x€
(1, e), f'x(> 0,所以函数f (x)在(1, 1 e
② 当
一>
................. 5 分 e,
即0 v
e)上单调递增,则f (x)max
1 1 1 1
③ 当1 v m^v e,即mv 1时,函数f(x)在(1,和上单调递增,在(二,e)上单调递减, 则 f (x) max= f(1)=— Inm— 1 .
.................. 7 分
1
④ 当 1, 即卩 m > 1 时,x€ (1, e), f'x)v 0,函数 f (x)在(1, e)上单调递减,则 f (x) max=
3
②当 一< mv 1 时,f (x)max =— Inm— 1;
e
f
(1) =— m.
................ 9分
1
综上,①当 m w 一时,f (x)max= 1 — me;
e
③当 m > 1 时,f (x)max =— m. 10分
(3)不妨设 Xi>X2> 0 .因为 f(Xi)= f(X2)= 0,所以 InX1— mxi= 0, Inx2 — mx2= 0, 可得 lnx1 + lnx2= m(x1 + x2), |nX1— Inx2= m(x1 — x2).
要证明 X1X2>e,即证明 Inx1 + InX2> 2,也就是 m(X1 + X2) >2.
Inx1 — Inx2
2
Inx1 — Inx2+ x,即 In艺 >坐+孚. X1 + 2 X2 X2 X1 + X2
因为m = PT,所以即证明 PT >
12分
tIntX1 t
令三=,则 > J于是 >響 X2
令 cp(t)= Int — ®'(t)=-
2(t — 1)
(t > 1),则
t (t + 1) t(t + 1) t
t + 1
故函数(t)在(1,+^)上是增函数,所以 (t)> (1) = 0,即lnt>2$严成立. 所以原不等式成立.
9、(南通市2014届高三第三次调研)已知函数 (1) 求实数a的值;
(2) 是否存在区间Im, n ],使得f (x)在该区间上的值域为[em,en] ?若存在,求出m,n的 值;
若不存在,说明理由.
解(1) f (x) =e(x -a)(x -a 2), 由题意知「(2) =0,解得a=2或a=4 . 当 a =2 时,f (x) =ex(x —2),
易知f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,;)上为增函数,符合题意; 当 a =4 时,f (x) =e(x -2)(x -4),
易知f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,4),(4,;)上为减函数,不符合题意. 所以,满足条件的 a =2 .
(2)因为 f(x) > 0,所以 m > 0 .
4
2n
XX
X
4
4
2X
16分
f(x)=(x-a)e在x =2时取得极小值.
.................... 2分
.................... 5分 .................... 7 分
4
① 若 m =0,则 n > 2,因为 f (0) =4 ::: en,所以(n -2)e =en . 设 g(x)=4e(x> 2),则 g(x)=
X
X
........ 9 分
口
- X
X
所以g(x)在[2,;)上为增函数.
由于g(4) =e4
,即方程(n -2)2en
=e4
n有唯一解为n =4 . ....................... ② 若 m 0,则 2 ■- |m,n ],即 n . m . 2或 0 ::: m ::: n ::: 2 .
2 m 4
([)n . m 2 时,
f(m) =(m -2) e e m
2 n 4
,
由①可知不存在满足条件的f (n) =(n -2) e e n m, n .
2 m 4
(n) 0 ::: m ::: n ::: 2 (m 时,
— 2) e e n 两式相除得 2 m / 2 n
2 n
4
m(m—2) e n(n 2) e
(n -2) e e m
设 h(x) =x(x -2)2ex
(0 ::x :::2),
3
2
x
x
则 h(x)=(x - x - 4x 4)e =(x 2)(x-1)(x - 2)e , h(x)在(0,1)递增,在(1,2)递减,由 h(m) =h(n)得 0 :. m ::: 1 , 1 ::: n ::: 2 , 此时(m —2)2em
:::4e ::: e4
n,矛盾.
综上所述,满足条件的 m,n值只有一组,且 m=0,n =4 . ...............
11分
13分
16分
本文来源:https://www.wddqw.com/doc/08b7c0662d3f5727a5e9856a561252d380eb20fd.html