空间群
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目录 1历史 2空间群的要素 2.1元素，固定点 2.2翻译 2.3滑翔飞机 2.4螺旋轴 2.5一般公式 3空间群的符号 4空间群的分类系统 5在其他维度的空间群 5.1比贝尔巴赫的定理 5.2在小尺寸的分类 5.3双组与时间逆转 6在3维空间群表 7参考 8外部链接 历史 在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。 费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。 元素的空间群 在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。 固定点的元素 空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。 翻译 翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。有14种布拉维晶格可能。空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。 空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。 数。国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。 国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，。未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时R或F）可见。这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺旋轴和一个双重的旋转轴，的。请注意，它并没有明确包含晶系，虽然这是独一无二的每一个空间组（在P3121的情况下，它是三角）。 在国际短符号的第一个符号（在这个例子中第31号）表示，沿轴次要（A和B）的对称性，沿主要的轴（C轴三角案件）第二（在这种情况下2）和第三个符号，在另一个方向的对称性。在三方的情况下，还存在空间群P3112。在这个空间的双重轴沿a和b -轴，但以一个方向旋转30度。 1935年和2002年之间略有一些空间群的国际符号和国际短期符号被改变，所以几个空间群有4种不同的的使用国际符号。 霍尔符号。一个明确的起源与空间组符号。旋转，平移和轴方向的符号被明确分开和反转中心是明确的定义。建设和符号的格式，使得它特别适合于对称信息的计算机生成。例如，第3组号码有三个霍尔符号：P 2Y（P 1 2 1），P 2（1 2），。 P 2X（2 1 1）Schönflies符号。与给定的点群空间群编号1，2，3，... ...（在他们的国际电话号码的顺序相同），这个数字是增加一条，作为一个点群Schönflies符号标。例如，3至5组号码的点群为C2 Schönflies符号C12，C22，C32。 舒勃尼科夫符号 2D：Orbifold符号和3D：Fibrifold符号。顾名思义，orbifold符号描述orbifold，欧几里德空间的商空间群，而不是空间群发生器。据介绍Conway和瑟斯顿，不使用外数学。空间群的一些与他们有关的几个不同fibrifolds的，所以有几种不同的fibrifold符号。 Coxeter符号 - 空间上和点对称群，代表纯反射Coxeter群modications。 [编辑]空间groupsThere的分类系统（至少）10个不同的方式分为类空间群。一些这些之间的关系，下表中所述。每个分类系统的完善它下面的。 （晶体），空间群类型（230）在三个方面。两个空间群，被视为空间的仿射变换组的子组，具有相同的空间群类型，如果他们是一个方向保护的仿射变换的共轭。在三维空间，仿射空间组11，有没有保存地图从它的镜像组的方向，因此如果一个区分这些每个分割镜像组分为两种情况。因此，有54 11 = 65空间群类型，保持方向。 仿射空间群类型（219）在三个方面。两个空间群，被视为空间的仿射变换组的子组，具有相同的仿射空间群类型，如果他们是一个仿射变换下的共轭。仿射空间群类型是由底层的空间群的抽象组。在三维空间中，有54仿射空间群类型保持方向。 算术水晶类（73）在三个方面。这些都是由点群与点组翻译分组行动。换句话说算术水晶类对应到一般线性群GLN（Z）在整数的有限子群共轭类。空间群被称为symmorphic（或分割）如果有一个点，比如，所有的对称性是一个固定这一点和翻译的对称性的产品。等价，空间群为symmorphic，如果它是一个其翻译亚群的点群的半直积。有73 symmorphic空间群，正是在每个算术水晶类。也有157 nonsymmorphic空间与不同数目的算术水晶类组类型。 （几何）水晶类（32）在三个方面。是由点组：由翻译分组的商晶格，空间群的晶体类。两个空间是相同的晶体类，当且仅当他们的点群，这是GL2亚群（Z）在较大的组GL2（Q）的共轭。布拉维羊群（14日在三个层面）。这些是由底层的布拉维点阵式。 这些对应于晶格点群共轭类GL2（z），其中晶格点群是一群修复晶格点的基础晶格对称性，包含的点群。 水晶系统。（7）在三个方面水晶系统晶格系统专案的修改，使其兼容的分类，根据点群。他们不同于晶体家庭六方晶系列是分裂成两个子集，称为三方和六方晶系。三角晶系菱形格子系统，六方晶系小于六角形晶格系统，其余的水晶系统和晶格系统是相同的。莱迪思系统（7三个层面）。空间群晶格系统是由晶格点群共轭类GL2（Q）的大组（GL2（Z）的一个子群）。在三维空间中的晶格点群可以有7种不同的订单2，4，8，12，16，24，或48之一。六方晶系列被分成两个子集，称为菱形和六角形晶格系统。 水晶的家庭（6）在三个方面。空间群的点群并不完全确定其晶格系统，因为偶尔有两个相同的点群空间群，可能会在不同的晶格系统。水晶家庭形成晶格系统通过合并两个晶格系统，每当发生这种情况，这样的空间群的晶体家庭是其晶格系统或点群确定。在3个维度中，只有两个格子，得到合并在这样的家庭，这是六方晶家庭相结合的六角形，菱形格子系统。6，在3维晶体的家庭被称为三斜，单斜，orthorhombal，四方，六角，和立方。水晶家庭常用的晶体，他们有时也被称为晶系的通俗读物。 康威，弗里德里希，德尔加多和Huson等。（2001年）给了另一个空间群的分类，称为fibrifold符号，根据相应orbifold的fibrifold结构。他们分为还原和不可约组219仿射空间。还原组分为17类17组壁纸对应，其余35组不可约立方米组相同，并分别归类。 [编辑]在其他维度的空间群[编辑]比贝尔巴赫的theoremsIn n维仿射空间群，或比贝尔巴赫集团，是一个n维欧几里德空间具有结构紧凑的根本域等距的离散子群。比贝尔巴赫（1911年，1912年）证明，任何此类组翻译分组包含n个线性独立的翻译，是一个自由交换子群有限指数，也是独特的最大正常交换子群。他还表明，在任何尺寸ñ有只有有限数量的可能性空间群的基本组的同构类，而且该组的欧氏空间上的行动是唯一的仿射变换的共轭。这希尔伯特第18问题的答案的一部分。Zassenhaus（1948年）表明，相反的任何组的锌是一个有限群作用的延伸，忠实是一个仿射空间群。结合这些结果表明，在n维仿射变换，以共轭分类空间群本质上是相同的分类组锌扩展有限忠实组的同构类。 承担该组等距行为是比贝尔巴赫定理必不可少的;不定理推广到欧氏空间的仿射变换的离散cocompact组。由3维海森堡整数组的3维欧氏空间上确定的实数Heisenberg群的翻译，给出一个反例。这是一个空间的仿射变换的离散cocompact组，但不包含一个分组Z3的。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0fc7c886e53a580216fcfee7.html