圆的性质和定理
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【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所 对的弦的弦心距相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心 距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理 圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直 径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直 角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理 圆的内接四边形的对角互补 2定理 并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理 如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条 线段长的积相等 3切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项 4切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角 [圆的其他性质定理] 1弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 2①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 3圆的外切四边形的两组对边的和相等 [圆与圆] 1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 2①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含 d＜R-r(R＞r) 3定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 （有关外接圆和内切圆的性质和定理） 5定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 【圆的解析几何性质和定理】 [圆的解析几何方程] 1 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 2 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 [圆与直线的位置关系判断] 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1，那么：
当x=-C／A或x=-C／A>x2时，直线与圆相离； 当x1／A时，直线与圆相交； 半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2)
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