圆的性质和定理

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【圆的平面几何性质和定理】

[圆的基本性质与定理]

1定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定)

2圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

3垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

[有关圆周角和圆心角的性质和定理]

1定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所 对的弦的弦心距相等

推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心 距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理 圆心角的度数等于他所对的弧的度数

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对 的弧也相

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直 角三角形

[园内接四边形的性质与定理] 1定理 圆的内接四边形的对角互补

2定理 并且任何一个外角都等于它的内对角

3圆内接四边形判定定理 如果一个四边形对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆

推论 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆

[有关切线的性质和定理]

1切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

[与圆有关的比例线段]

1相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等




推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项

2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割线与圆的交点的两条 线段长的积相等

3切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项

4切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角

[圆的其他性质定理]

1弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 2直线L和⊙O相交 dr 直线L和⊙O相切 d=r 直线L和⊙O相离 dr

3圆的外切四边形的两组对边的和相等

[圆与圆]

1如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 2两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含 dR-r(Rr)

3定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4定理 把圆分成n(n≥3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

(有关外接圆和内切圆的性质和定理)

5定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。

【圆的解析几何性质和定理】

[圆的解析几何方程]

1 圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点Oab)为圆心,以r为半径的圆的标准方


程是(x-a^2+y-b^2=r^2

2 圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实D=-2aE=-2bF=a^2+b^2 圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r

[圆与直线的位置关系判断]

平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:

1.Ax+By+C=0,可得y=-C-Ax)/B(其中B不等于0,代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0即成为一个关于x的一元二次方程fx=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-CA,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a^2+y-b^2=r^2。令y=b,求出此时的两个xx1x2并且规定x1,那么:

x=-CAx=-CA>x2时,直线与圆相离; x1A时,直线与圆相交; 半径r,直径d

在直角坐标系中,圆的解析式为:x-a^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2)


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