3.2.3指数函数与对数函数的关系习题课教案学生版
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习题课 【学习要求】 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握; 2.培养综合运用知识的能力. 试一试：双基题目、基础更牢固 1.若点(a,b)在y＝lg x图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是（ ） 110A.(,b) B.(10a,1－b) C.(,b＋1) D.(a2,2b) aa解析：因点(a,b)在y＝lg x图象上,所以有b＝lg a,将各选项的点的坐标代入y＝lg x,只有选项D得出的等式与b＝lg a等价,故选D. 1－x2.已知函数f(x)＝lg,若f(a)＝b,则f(－a)等于 ( ) 1＋x11A. b B. －b C. D. － bb1＋x1－x－11－x解析：f(－x)＝lg＝lg()＝－lg＝－f(x),则f(x)为奇函数,故f(－a)＝－f(a)＝－b. 1－x1＋x1＋x3.已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1],则函数y＝f(log2x)的定义域为 ( ) 1A.[－1,1] B.[,2] C.[1,2] D.[2,4] 2111－解析：∵－1≤x≤1,∴21≤2x≤2,即≤2x≤2. ∴y＝f(x)的定义域为[,2]即≤log2x≤2, ∴2≤x≤4. 22214.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)＝()x;当x<4时,f(x)＝f(x＋1).则f(2＋log23)的值为 ( ) 21113A. B. C. D. 2412881解析：因为3<2＋log23<4,故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23). 又3＋log23>4,故f(3＋log23)＝()3＋log23＝2111111()3·()log23＝×2 log23-1＝×＝. 228832415.定义在R上的偶函数f(x)在[0,＋∞)上递增,f()＝0,则满足f(log x)>0的x的取值范围是 ( ) 31111A. (0,＋∞) B. (0,)∪(2,＋∞) C. (0,)∪(,2) D. (0,) 28221111解析：由题意可得:f(x)＝f(－x)＝f(|x|),f(|log x|)>f(),f(x)在[0,＋∞)上递增,于是|logx|>, 83831解得x的取值范围是(0,)∪(2,＋∞). 26.已知0＝logac,n＝logbc,则m与n的大小关系是________.
m
解析：∵m<0,n<0,∵＝logac·logcb＝logabaa＝1,∴m>n.
n
研一研：题型解法、解题更高效 题型一 对数式的化简与求值
xx－y(2－3)
例1 计算:(1)log(2＋3); (2)已知2lg＝lgx＋lgy,求log (3＋22)y.
2
1－
解：(1)方法一 利用对数定义求值:设log(2＋3)(2－3)＝x,则(2＋3)x＝2－3＝＝(2＋3)1,∴x＝－1.
2＋3
1－
方法二：利用对数的运算性质求解: log(2＋3)(2－3)＝log(2＋3)＝log (2＋3)(2＋3)1＝－1.
2＋3
x－y2x－y2xxx
(2)由已知得lg()＝lg xy, ∴()＝xy,即x2－6xy＋y2＝0. ∴()2－6()＋1＝0.∴＝3±22.
22yyy
xxx1
∵x－y>0，x>0，y>0 ∴>1,∴＝3＋22, ∴log(3－22) ＝log (3－22)(3＋22)＝ log(3－22)＝－1.
yyy3－22
小结：在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底,指数与对数互化.
71
跟踪训练1 计算: (1)log2＋log212－log242－1; (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
482
77×12133
解：(1)原式＝log2＋log212－log242－log22＝log2＝log2＝log22－＝－.
224848×42×222
1 / 2
(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2. 题型二 对数函数的图象与性质
1
例2已知f(x)＝logax(a>0且a≠1),如果对于任意的x∈[,2]都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.
3
解：∵f(x)＝logax,则y＝|f(x)|的图象如下图.
111
由图知要使x∈[,2]时恒有|f(x)|≤1,只需|f()|≤1,即－1≤loga≤1,
33311－－
即logaa1≤loga≤logaa,亦当a>1时,得a1≤≤a,即a≥3;
33
111－
当0时,得a1≥≥a,得0 综上所述,a的取值范围是(0,]∪[3,＋∞).
333
1
小结：本题属于函数恒成立问题,即对于x∈[,2]时,|f(x)|恒小于等于1,恒成立
3
问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a为参数,需对a进行分类讨论.
跟踪训练2已知函数f(x)＝|lg x|,若0且f(a)＝f(b),则a＋2b的取值范围是 ( ) A. (22,＋∞) B. [22,＋∞) C. (3,＋∞) D. [3,＋∞) 解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示. ∵0＝f(b), ∴01, ∴lg a<0,lg b>0.
12
由f(a)＝f(b),∴－lg a＝lg b ,ab＝1. ∴b＝,∴a＋2b＝a＋,
aa
222
又0函数t＝a＋在(0,1)上是减函数, ∴a＋>1＋＝3,即a＋2b>3.
aa1
题型三 对数函数的综合应用
例3已知函数f(x)＝log2x,x∈[2,8], 函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a). (1)求h(a);
(2)是否存在实数m, n, 同时满足以下条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为 [n, m]时,值域为[n2,m2],若存在,求出m, n 的值;若不存在,说明理由.
解：(1)∵x∈[2,8],∴log2x∈[1,3].设log2x＝t,t∈[1,3],则g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 当a<1时,ymin＝g(1)＝4－2a,当1≤a≤3时, ymin＝g(a)＝3－a2,当a>3时,ymin＝g(3)＝12－6a. 所以h(a)＝4－2a (a<1) 3－a2 (1≤a≤3) 12－6a (a>3)
(2)因为m>n>3,所以h(a)＝12－6a在(3,＋∞)上为减函数, 因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2], 所以12－6m＝n2－6n＝m2 ,两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n),所以m＋n＝6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数m,n不存在.
小结：本题利用了换元法,把log2x看作一个整体用t来表示,从而得到一个新函数,因此需要求出函数的定义域.所示函数的最值本身也是关于a的分段函数,所以函数思想是中学阶段常用的重要思想.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝loga(x＋1) (a>1),若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上.
(1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立,求m的取值范围. 解：(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(－x,－y)是点P关于原点的对称点, ∵Q(－x,－y)在f(x)的图象上, ∴－y＝loga(－x＋1),即y＝g(x)＝－loga(1－x).
x＋11＋x2
(2)f(x)＋g(x)≥m,即loga≥m. 设F(x)＝loga＝loga(－1＋) ,x∈[0,1),由题意知,
1－x1－x1－x
只要F(x)min≥m即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min＝F(0)＝0. 故m≤0即为所求. 课堂小结：
1.指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.
2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式;对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.
n1
3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab,logab＝在解题中的灵活应用.
mlogba
4.在运算性质logaMn＝nlogaM时,要特别注意条件,在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*,且n为偶数). 5.指数函数y＝ax (a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.
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