第 1 课 二次函数在闭区间上的最值 基础过关 一元二次函数的区 间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 设 f (x) . ax 2 bx c(a 0) ，求 f ( x) 在 x [ m， n] 上的最大值与最小值。 分析：将 f ( x) 配方，得顶点为 b 2a ， 4ac b 2 、对称轴为 x b 2a 4a 当 a （ 1）当 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 b 2a b 2a b 2a [m， n]上 f ( x) 的最值： m，n 时， f ( x) 的最小值是 f b 2a 4ac b 2 4a ， f ( x) 的最大值是 f (m)、 f (n) 中的较大者。 （ 2）当 ( ,m) 时， f ( x) 在 m， n 上是增函数则 f ( x) 的最小值是 f (m) ，最大值是 f (n) （ 3）当 (n, ) 时， f ( x) 在 m， n 上是减函数则 f (x) 的最大值是 f (m) ，最小值是 f ( n) 当 a 0时，可类比得结论。 典型例题 （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间， 求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成 为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形： （ 1）轴定，区 间定； 1. 轴定区间定 （ 2）轴定，区间变； （ 3）轴变，区间定； （ 4）轴变，区间变。 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次 函数在定区间上的最值” 。 例 1. 函数 y x2 4x 2 在区间 [0，3] 上的最大值是 _________ ，最小值是 _______。 练习 . 已知 2x 2 3x ，求函数 f ( x) x 2 x 1 的最值 。 2、轴定区间变 二次函数 是确定的， 但它的定义域区间是随参数而变化的， 我们称这种情况是 “定 函数在动区间上的最值” 。 例 2. 如果函数 f ( x) ( x 1) 2 1 定义在区间 t，t 1 上，求 f (x) 的最小值。 1 例 3. 已知 f ( x) x 2 2x 3 ，当 x [ t, t 1] ， t R 时，求 f ( x) 的最大值． 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些 问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或 二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区 间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值 不可能是二次函数的顶点， 只可能是闭区间的两个端 点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到， 当然 也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为 什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： ， b 2a 1 2 n)( 如图 ) ， b 1 b f ()，m 2a 如图 ) b 3 当 a 0时 f (x)max f (n)， b12 (m 2 n)(如图) f (x)m i n n(如图4) 2a 2a 2a ， b m( 如图 ) 2a 5 f (n) 当 a 时 0 f (x)m a x f () m ， n(如图6) 2a b b ， b f (m)， f ( x) min f (n) 2a 2a n( 如图 b 2a b 2a 7) 1 2 1 2 (m n)( 如图9) ， b ， f (m) 如图 8) 2a m( 如图 (m n)( 10 ) 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的， 我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 1 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2ec30e1db62acfc789eb172ded630b1c59ee9b73.html