牛顿法求平方根 牛顿法是一种数学的迭代求根方法，其可以用来求解非线性方程的根以及平方根。在计算机科学和数值计算中，牛顿法也有着重要的应用。 一、牛顿法的数学原理 牛顿法求解非线性方程的根，是以函数f(x)的定义域内一个初值x0为基础，假设函数f(x)在x0处具有可微分性，那么函数在x0处的一阶导数f’(x0)可以构建一个泰勒展开式： f(x)＝f(x0)＋f’(x0)×(x-x0) 泰勒展开式也即是牛顿法采用的近似计算函数，它假定根所在区域内函数近似为一阶函数，这样可以忽略其他更高阶的项，而得到近似的函数值。 假定牛顿法误差小于某一限度，牛顿法的求根公式，也称为牛顿迭代公式，有： xn＝xn-1-f(xn-1)/f’(xn-1) 该公式可以用来求解方程f(x)=0的解，牛顿法的求根原理是以上的迭代公式，即以初始点x0开始，用恒等式右边的值来代替当前的函数值f(xn-1)，即可获得新的xn，新的x值也就是接近根的点，将这样迭代，直到所求函数的根。 二、牛顿法求平方根 牛顿法求解非线性方程的根，也可以用来求取某个数的平方根，具体的做法为， - 1 - 首先令f(x)=x2-a=0，其中a是需要求解的数的平方， 计算函数f(x)的导数f’(x)=2x， 以x0=a/2为初始值， 求解f(x)=0，使用牛顿法可以得到 x(n+1)=xn-f(xn) / f’(xn)=xn-(xn2-a)/2xn=1/2 (xn+a/xn) (n=0,1,2...) 根据牛顿法的收敛性质，可以认为当n→∞时，xn→x（即a的平方根）， 根据上述求解步骤，可以实现一个求平方根的数值算法。 三、牛顿法求平方根的数值算法 1.定一个解的初始值x0，令x0=a/2； 2.算f(x0)和f’(x0)； 3.用牛顿法迭代公式得到新的xn； 4.算f(xn)和f’(xn)，再重复步骤3； 5.复上述步骤，直到收敛条件满足，得出所求的解。 四、牛顿法求平方根的优缺点 1.顿法求解非线性方程的根以及平方根的的优点： （1）牛顿法是一种快速收敛的数值求根方法，迭代次数小，计算简单； （2）它可以用来求解实数的根，复数的根，和多元函数的根，只要改变初值x0； （3）它可以求解一般不存在解析解的非线性方程组和非欧几里 - 2 - 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/38b5e5a5fa0f76c66137ee06eff9aef8941e48e7.html