有界导函数的假设干性质探析 有界导函数的假设干性质探析 【摘 要】本文研究了有界导函数的假设干性质的意义及其证明方法，在学习生活当中的应用。导函数性质的把握主要是更好的学习函数及其函数的应用，同时掌握函数与导函数之间的联系，能更好的利用导函数与函数之间的关系来解决和优化数学学习当中的一些问题。研究探讨函数导函数的一些相关性质。通过对一些参考文献的归纳和总结，深化对有界导函数的学习和理解。通过举例说明了有界导函数性质的应用，学会灵活的应用有界导函数的性质。 【关键词】导函数；连续性；可积性 数学分析是数学专业一门重要的根底课，而函数的有界导函数是其重要的局部，导数的思想最初是由法国数学家费马为解决极大，极小问题而引入的，但导数作为微分学中最主要的概念之一，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学与几何学的过程中建立的。本文研究和探讨了有界导函数的性质和可积性，并用有界导函数的这些性质，研究，判断和讨论相应函数的有关性质。 在本论文的写作过程中，通过对一些参考文献的归纳和总结，深化对有界导函数、函数的学习和理解。通过举例说明了导函数性质的应用，学会灵活的应用函数、导函数的性质。本文深化了对有界导函数的学习和应用，为函数和有界导数的学习提供了一个参考。 在对导数的学习和探求中，发现有界导函数有很多值得注意的性质。本文讨论如下。 称为在区间 上导数有界函数，是指 ， ， ，简称 有界，当函数的导函数有界，那么 和 都有一些重要的性质， 1 导数有界函数的性质 1.1 利用中值定理证明不等式 利用导函数 的有界性及中值定理，常常可以证明某些不等式。 命题1.1 在 有界 ， 证：由中值定理得 ， 例1.1 证明 ， 证：取 = ， = 有界 由定理8可知 1.2 导数有界函数的一致连续性 命题1.2 假设函数 在区间I上可导， 在I上有界，那么 、 在I上满足Lipschite条件， 、 在I上一致连续性， 、 在I上具有不动点 ，使得 。 证明： 在区间I上可导， 导数 有界 ， 由微分中值定理， ， ，存在 使 。 在I上满足Lipschite条件。 ，取 ，对 ， 当 ，由上面 、1〕、 2〕、 ， 收敛， 收敛， 收敛， 使得 3〕、 在 中，令 ， 是 的不动点 4〕、假设另有 ， 不动点唯一。 2.有界导函数的可积性 一个函数的导函数未必可积。例如 ，因 在 上无界 在 不可积。此外，即使导函数 有界，那么导函数 也未必可积.，这一例子由法国数学家渥太拉首先给出，见文[12]。 通常，定积分的牛顿-莱布尼兹公式要求被积函数连续。但对函数的导函数 来说，只要求其可积，就有牛顿-莱布尼兹公式成立，讨论如下： 2.1 导函数可积的性质 命题2.1 当 可积，那么 定积分牛顿-莱布尼兹公式成立 证明：因 可积，在 上分别任取： 得到 个小区间 ， 。记 ， ，因 可导，在每个小区间 上运用Lagrange微分中值定理 ，使 ， = = ， = = + + c = = 。 即 = ， 又记 = ， 在闭区间 上连续 在闭区间 上可积 由定积分定义 = 即 = 。 2.2 导函数不可积的例子 例2.2 ， 判断 在 不可积。 解： ， 在 上无界，所以 不可积。 2.3 函数导函数有界的一个等价条件 下面本文给出一个判断导函数有界的充要条件： 导数有界 函数 可导且满足Lipschitz条件 命题2.3 在 上可导，且在 上满足Lipschitz条件的充要条件是：导函数 在 上有界。 证：当 在 上有界，那么 在 上可导，由定理：由 的周期性 判断 的周期性， 在 上满足Lipschitz条件。 当 在 上可导，且在 上满足Lipschitz条件 ， ， 注意 在 可导 极限 存在， 在 上有界。 结束语 以上通过有界导函数的一些性质，讨论了有界导函数的连续性，导函数介值性和可积性。通过对一些参考文献的归纳和总结，深化对有界导函数的学习和理解，说明了有界导函数性质及其应用。本文深化了对有界导函数的学习和应用，为函数和有界导数的学习提供了一个参考。 参考文献 【1】 华东师范大学?数学分析?[M]第二版北京：高等教育出版社1991.10。 【2】 吉米多维奇?数学分析习题集?[M]北京：人民教育出版社，1978。 【3】 刘广云 数学分析方法选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社.1993.1-10。 【4】 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.93-03【9】武汉大学数学系.?数学分析?[M]北京：人民教育出版社，1978.284-285。 【5】 苏荣.关于导数的介值性的简单应用[J].高等数学研究，2006：58。 【6】 费定辉等编著，郭大钧主审：B.II吉米多维奇数学分析习题集解，山东科学技术出版社。 收稿10 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/42fd963bcf7931b765ce0508763231126edb77ff.html