龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅议单调有界函数的极限 作者：邓敏 来源：《新教育时代·教师版》2016年第37期 摘要 本文阐述、举例说明了由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”这一结论的理由，并进一步讨论了单调有界函数极限存在的条件。 关键词 单调有界，数列，函数，极限，极限过程 一、引言 “单调有界数列必有极限”是微积分学的基本定理之一，是《高等数学》中证明第二个重要极限公式的一个重要预备定理， 因为数列是一种特殊函数， 所以很多学生就想当然的认为“单调有界函数必有极限”，甚至有些教师在讲到函数的极限时， 也利用“单调有界数列必有极限”这个结论得出“单调有界函数必有极限”的结论， 那么“单调有界函数”是否真的就“必有极限”呢？如果结论是否定的，那么“单调有界函数”的极限到底是怎样的呢？其极限和什么因素相关呢？ 二、单调有界数列的极限 数列是定义在自然数集上的一类特殊函数， 数列的极限比较简单， 因为其自变量的变化过程只有一个， 即 （实际上是n→+∞），所以其极限仅取决于它的“单调性”和“有界性”，“单调有界数列必有极限”这一定理就是对数列极限情况的具体诠释。 关于“单调有界数列必有极限”， 很多《高等数学》教材上虽然没有给出完整的证明却都有具体表述如下：“1、如果数列﹛Xn﹜是单调递增有上界的数列， 则该数列一定有极限，且如果M是其最小上界（即上确界），则当 时，数列﹛Xn﹜收敛于M；2、如果数列﹛Xn﹜是单调递减有下界的数列， 则该数列一定有极限，且如果m是其最大下界（即下确界），则当 时，数列﹛Xn﹜收敛于m。 “单调有界数列必有极限”的描述已经包含了极限过程是 ， 所以我们只要说求某个数列的极限（不必说n是怎么变化的），大家都明白的。 三、单调有界函数的极限 （一）单调有界函数的极限 函数的极限相比于数列的极限就复杂多了， 其极限是由函数本身的解析表达式、函数满足的一些条件以及极限中自变量的变化趋势共同决定的。因此，在讨论函数的极限时， 我们 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/d72ecb574a73f242336c1eb91a37f111f1850d82.html