高数

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1. 当xx0时，

x,x都是无穷小，则当xx0时（ D ）不一定是

22x x(B)

2(x)

(D) (x)

无穷小. (A) (C)

xx

ln1(x)(x)

1xa

sinxlimxasina2. 极限

（A） 1

的值是（ C ）. （B） e

（C）

ecota （D） etana

sinxe2ax1

x0

f(x)x

x0在x0处连续，则a =（ D ）. a3.

（A） 1

（B） 0

（C） e

（D） 1

f(ah)f(a2h)



h4. 设f(x)在点xa处可导，那么h0（ A ）.

（A） 3f(a) （B） 2f(a)

lim

(C) f(a)

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1

f(a)

（D） 3

ln(xa)lna1(a0)

x5. 极限x0的值是 a.

xy

6. 由eylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数y

y

2sin2xyexy

x . xy

xelnx

,,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直7. 直线l过点M(12

x1y2z3

111 . 线l的方程为

2

8. 求函数y2xln(4x)的单调递增区间为（－，0）和（1，+ ） .

lim

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

(1x)e

x9. 计算极限x0.

lim

1

x

1x

(1x)ee

elimx0x解：x0

lim

1

ln(1x)1x

1

x

elim

ln(1x)xe



x0x22

1

10. 设

f(x)在[a，b]上连续，且

x

x

F(x)(xt)f(t)dtx[a,b]

a

x

，试求出F(x)。

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dt

a

a

x

x

F(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt

a

a

11. 求

x

cosx

dx.sin3x 

2

F(x)f(x)

解：

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

cxs3x1xs2

x

s

2

oi

i

dx12

i

2

12. 求

x

231232

2

dxx21

.

1令　t

x

原式

1

t

1(1)dt2

t11

t2

2

1t 6 2xy

1x2 的极值与拐点. 13. 求函数

2

1

3

2

dt

arcsint

3212





解：函数的定义域（－，+）

4x(3x2)2(1x)(1x)

yy2322

(1x)(1x)

令y0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y(1)0 x 1 = 1是极大值点，y(1)0x 2 = -1是极小值点极大值y(1)1，极小值y(1)1

令y0得 x 3 = 0, x 4 = x

(-,-

3, x 5 = -3 3,0)

+

(0,

3)

(-

3)

(

3,+)

+

y

－－

33

故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）

2

x3y2

4与y3xx所围成的平面图形的面积. 14. 求由曲线

x3

解:3xx2,　x312x4x20,

4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

0x32x322

S(3xx)dx(3xx)dx

6404 4334x3x03xx2(x2)6(x2)0

16232316

11

45247

33

2

15. 设抛物线y4x上有两点A(1,3)，B(3,5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.

AB连线方程：y2x10　　AB45

2xy1x22x3

点P到AB的距离　(1x3)

55

ABP的面积

2

1x2x3

　　　S(x)452(x22x3)

25

　　　S(x)4x4　当x1　　S(x)0 　　　S(x)40

当x1时S(x)取得极大值也是最大值此时y3　　所求点为(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线

2

的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4x0),使f(x0)2x053312,　解得x01,所求C点为(13,)

六、证明题（本大题4分）

16. 设x0，试证e

证明：设

2x

(1x)1x.

f(x)e2x(1x)(1x),x0

f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，x0,f(x)0，因此f(x)在（0，+）内递减。在（0，+）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）内递减，在（0，+）

2x2xe(1x)(1x)0e(1x)1x 试证f(x)f(0),内，即亦即当 x>0时，

e2x(1x)1x.

3

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/44261f2add36a32d737581a0.html

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