一般矩形面积公式的证明 定理：矩形面积公式S=ab a为长，b为宽。 证：令S=f(a,b),显然当a扩大p倍时(p是正整数),面积扩大p倍，因为可以用p个小矩形填充大矩形。 ∴f(pa,b)=pf(a,b) 把a用aaa1来代，得：f(a,b)=pf(,b) 即f(,b)=f(a,b) pppp∴f(p1pa,b)=f(pa,b)=f(a,b) qqq∴对任意有理数r,有f(ra,b)=rf(a,b) lim当α为无理数时，作一有理点列rn→α(n→∞),f(αa,b)=f(nrna,b) ∵f(a,b)关于(a,b)是连续的（这是显然的） limlimlim∴f(nrna,b)=nf(rna,b)=nrnf(a,b)=αf(a,b),即f(αa,b)=αf(a,b) 综上，对任意k>0,有f(ka,b)=kf(a,b) 又∵a与b位置是对等的 ∴对任意k>0,也有f(a,kb)=kf(a,b) ∴对任意m,n>0,有f(ma,nb)=mf(a,nb)=mnf(a,b) 令a=b=1,则f(m,n)=mnf(1,1) 上式对任意m,n>0均成立，所以f(a,b)=abf(1,1) 令f(1,1)=c,S=f(a,b)=cab 实际中，为使问题简化，常令c=1,即人为规定长宽均为1的矩形面积为1，所以有S=ab 证毕。 有了矩形面积公式，其它任何图形都可以通过微积分转化为求矩形面积之和。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4fe422146beae009581b6bd97f1922791788be6d.html