等腰三角形处理策略-两圆一线 以函数为背景的等腰三角形存在性问题，是函数综合题的一大类，时常见于各类考卷的压轴题位置。若要在考场上脱颖而出，冲刺A线或者千分之一，这是必备知识之一。例如，2014年长沙卷压轴题第（3）问，考的就是这个问题。 今天这篇文章，依然从便于自学的角度来写，以期能最大化地覆盖不同基础的学生。 首先，我们来解决第一个问题，等腰三角形的生成问题。 【引例1】在平面内有一线段AB，点C为平面内任意一点，若△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？点C的轨迹又是什么？ 【解析】根据等腰三角形的性质，线段AB有可能为底边，也有可能为腰，故有两种基本情况。 情况（1）：线段AB为底边，则有AC=BC，即点C到线段AB两端点的距离相等，故点C在线段AB的中垂线上，此时点C有无数个，点C的轨迹为直线（不取与AB相交的点），如下图： 情况（2）：线段AB为腰，则有： ①AB=AC，即点C到点A的距离等于点B到点A的距离，则点C在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点B和与A、B共线点），如下图： ②AB=BC，即点C到点B的距离等于点A到点B的距离，则点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点A和与A、B共线的点），如下图： 综上所述，这样的点C有无数个，点C的轨迹为两个圆和一条直线，为了方便记忆，我们简称“两圆一线”，这是等腰三角形存在性处理的基本定性策略。 请记住这两圆一线：一线，指的是线段的中垂线，两圆，指的是以线段长度为半径，线段端点为圆心而产生的两个圆。 放另个类题练习。 【题1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是1,0，点B的坐标是0，3，点C在坐标平面内。若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个。 【题2】在正△ABC所在平面上找点P，使△PAB、△PBC、△PCA同时为等腰三角形，则这样的点P有个。 其次，我们来解决第二个问题，等腰三角形的边长问题。 求等腰三角形的边长，我们通常将其转化为两点间的距离问题，所以，我们来推导一下平面内两点间的距离公式。 【引例2】已知平面内两点A（1,2）、B（6,4），求线段AB的长度。 【解析】连接AB，以AB为斜边，构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，利用勾股定理解题，如下图：BCyByC422，ACxBxC615， ABBC2AC2225229 若将A、B推广到平面内任意两点，则有：ABxAxB2yAyB2。 最后，我们来解决第三个问题，常用的分类处理策略-根据边长相等进行分类 【引例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2,1），点B为y轴上一点，若△OAB为等腰三角形，求B点的坐标。 【解析】对于基础一般的学生来说，可以先画“两圆一线”将点找出，然后根据等腰三角形的性质进行分类讨论。△OAB的三条边分别为：OA、AB、OB，根据两两相等，共有三种情况：①OA=AB；②OA=OB；③AB=OB。 第一步：列出所有点的坐标。 设点B（0，y），点A（2,1），点O（0,0）； 第二步：列出OA、AB、OB的长度。 OA2021025；OBy；AB2021y2 第三步：根据线段两两相等列方程解题 情况①：OA=AB，有52021y2，解得：y0或y2，故点B（0,2）； 0，5； 情况②：OA=OB，有5y，解得：y5或y5，故点B0，5，情况③：AB=OB，y52021y2，解得：y5，故点B0，； 225，B40，。 综上所述符合条件的点B为：B10,2，B20，5，B30，解决了以上问题，我们就可以上战场，战真题了。真题里的等腰三角形存在性问题，处理方法跟上面一致。这里不放例题讲解，只放真题练习！ 【题1】（2014·长沙）如图，抛物线yaxbxca,b,c是常数，a0的对称轴为y轴，且经过0,0和a,2521两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点16A0,2。 （1）求a,b,c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交； （3）设P与x轴相交于Mx1,0，Nx2,0x1＜x2两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 【题2】（2014·娄底）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值； （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 图1 图2 【题3】（2017·眉山）如图，抛物线yaxbx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M1,是抛物线上另一点． （1）求a,b的值； （2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标； （3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 283 老孙原创，欢迎指正、交流、学习! 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5304108a2b4ac850ad02de80d4d8d15abe2300bf.html