与抛物线有关的两个重要三角形
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与抛物线有关的两个重要三角形 二次函数是初等函数中最为重要的一个函数，其图象抛物线，进一步加强了代数与几何的联系，其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题、解决问题是十分有益的。二次函数的图象抛物线与坐标轴交点构成的有关线段、三角形面积等代数与几何综合问题，是历年中考数学压轴题的重点和热点。 抛物线yax2bxc，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴必有两个交点为A(x1,0)、B(x2,0)；当x0时，抛物线与y轴相交于点C（0，c）。设抛物线的顶点为P，此时我们得到与抛物线有关的两个重要三角形：△ABC与△ABP。那么这两个三角形的面积、形状与抛物线的系数a,b,c, 有怎样的内在联系呢？下面就此问题作如下探讨： 一、关于△ABC ∵抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0)、B(x2,0)， y P 则ax2bxc0。 C 根据一元二次方程根与系数的关系有： bcx1x2,x1x2 α aaA O D B x 所以A、B两点间的距离 ABx2x1(x2x1)2(x2x1)24x1x2 cb24acb24ac b4.2aaaaa2即 AB …………………………………………（1） a这就是抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式。 111c而|OC|=|yc|=|c|, 所以S△ABC=ABOCc. 22a2ac. ……………………………………（2） 2a这就是抛物线与两坐标轴交点构成三角形的面积公式。 二、关于△ABP 即 S△ABC=由抛物线的对称性可知，它的形状、大小由P，A，B三点坐标确定。由（1）知：AB. a4acb2. 设D是抛物线对称轴与x轴的交点，则|PD|=|yp|=4a4a设∠PAB=，在Rt△PAD中， PD2a1tg,平方整理得:4tg2.. AD4a2于是我们得到： ①当=600时，△ABP为等边三角形，此时4tg24tg2600=12； ②当=450时，△ABP为等腰直角三角形，此时4tg24tg2450=4。 即 当△=12时，△ABP为等边三角形 ……………………（3） 当△=4时， △ABP为等腰直角三角形 ………………（4） 综上所述，上面研究的两个三角形，一是由抛物线与两坐标轴的交点构成的三角形；二是由抛物线的顶点和抛物线与x轴的两个交点构成的三角形。利用以上几个结论，可迅速解决一些比较复杂的与二次函数有关的中考题。 例1．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于不同的两点A（x1,0）、B（x2,0）（x12）,与y轴的负半轴交于点C。若抛物线顶点的横坐标为-1，A，B两点间的距离为10，且△ABC的面积为15。
（1） 求此抛物线的解析式； （2） 求出点A和点B坐标； （3） 在x轴上方，（1）中的抛物线上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形
与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
b
解：（1）∵抛物线顶点的横坐标为-1，1,即b2a.
2a
由AB=10，得：b2-4ac=(10a)2,又由b=2a得：c= -24a.
a由△ABC的面积为15，则有：
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SABC|AB||OC|10|c|15,解得|c|3,而c0,c3.
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11121
a,b.所求抛物线的解析式为:yxx3.
8484(2)、(3)留给读者自己完成。
1
例2． 已知抛物线yx2(n1)x2n (n<0)经过点A(x1,0)、B(x2,0)，
2
D(0,y1),其中x1x2，△ABC的面积等于12。
(1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；
(2) 如果点C(2,y2)在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式。
12
解：（1）由题意得：(n1)4()(2n)(n1)2
2
(n1)2
2n12(1n)(n0), 又OD=|y1|=|-2n|=-2n (n<0). 12
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SABCABOD12,(22n)(2n)12.解得:n3(舍去),n2. 所以
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(1,4). 抛物线的解析式为yx2x4,顶点坐标为
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（2）留给读者自己完成。
例3．已知抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点。 (1) 用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示） (2) “若AB的长为22，求抛物线的解析式。”
(3) 将（2）中的条件“AB的长为22”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出抛物线的解析式。 解：（1）y=x2-(2m+4)x+m2-10=[x-(m+2)]2-4m-14. ∴顶点C的坐标为（m+2,-4m-14）
AB
a
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