轮换对称分式问题的求值方法 张明 所谓轮换对称分式是指如果一个分式中的所有字母按某种次序轮换后，得到的分式与张希超 111abc等。轮换对称分式,abcabbcca的求值问题，一直是各类竞赛命题的热点之一。由于它的解法灵活，技巧性强，令不少同学望而生畏。现结合竞赛题介绍这类问题的几种常用方法。 一、倒数法 ab1bc1ca1abc 例1. 已知a、b、c为实数，且满足的值。 ,,。求ab3bc4ca5abbcca解：分别取已知式的倒数得： 1111113,4,5。 abbcca以上三式相加，得： 1116。 abcabbcca所以6， abcabc1所以。 abbcca6 原分式相同，则称这个分式为轮换对称分式。如 例2. 设ayxzabc，且xyz0。求的值。 ,b,cyzzxxya1b1c1解：对已知等式分别取倒数得： 1yz1zx1xy， ,,axbycz所以a1xyzb1xyzc1xyz。 ,,axbycz因为xyz0， 所以yaxbcz。 ,,a1xyzb1xyzc1xyz所以abc1。 a1b1c1 二、整体处理 例3. 已知115ba，求的值。 abababab为整体，则问ba分析：已知等式中有两个未知数，一般不可能分别确定其值。若视题可获解。 115， abababab所以5。 abba即115， abba所以3。 ab解：因为 111111 例4. 已知abc0，abc0，求abc的值。 bccaab解：因为abc0，abc0， 所以abc,bca,cab， 所以原式=aabbcc bccaabacbcabbacbac bac3 三、重叠法 例5. 设a、b、c是互不相等的实数，且a解：因为a1111bc，求222的值。 bcaabc11b，且a、b、c互不相等， bcbc所以ab， bcbc于是bc。 abcaab同理：ca。 ,abbccabccaab所以a2b2c2abbcca1， abbcca1所以2221。 abc 四、拆项法 例6. 已知a、b、c互不相等，求2abc2bca2cab的值。 (ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)解：因为2aaa,2bbb,2ccc， 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/562a1cbb905f804d2b160b4e767f5acfa0c7832d.html