分式求值问题的解题技巧(二) 六、特殊值法 【例6】(2004年安庆市初中数学竞赛题)已知abc≠0,且a+b+c=0,则a(1a1c)b(1c1a)c(1a1b)的值为_______. 12 解:依题意,不妨令a=1,b=1,c=-2,则原式=(1-)+(-12+1)-2(1+1)=-3. 评注:根据填空题的特点,取满足条件的a、b、c的特殊值,问题立即获解,令人耳目一新. 七、解方程(组)法 【例7】(2003年合肥市初中数学竞赛题)已知x、y、z、a、b、c都为实数,•且xayaza1,axbycz=0,求xa22ybxa22ybzc22的值. zc 解:由已知得abc≠0,xyz≠0.将xa22=1两边平方得 yb222xy2xz22cabacczz2yz=1 ① bc 将xaby=0两边同乘以xyzabc,得yzbcxzacxyab=0. ② ①-②×2得 xa22yb22zc22=1. 评注:将待求值的分式整体视为一个未知数,再利用已知条件,通过解方程或方程组求出这个未知数. 八、构造一元二次方程法 【例8】(2002年沈阳市初中数学竞赛题)已知2a-7a=-2,2β+2=7β,且α≠β,求的值. 解:由已知条件,得2a2-7a+2=0,2β2-7β+2=0.因α≠β,故是一元二次方程2x2-7x+2=0的两个不等实根. ∴α+β=722222,αβ=1,于是, 原式= 33 =α-β= (α-β)(α+αβ+β) 3322=±()24[()2] 727245=±()4[()1]22833 评注:这里不直接求α与β的值,而是从α与β所满足的方程的共同特征出发,构造出一个一元二次方程,使问题顺序获得解. 九、整体拆出法 【例9】(2004年太原市初中数学竞赛题)若实数x、y、z满足3x+7y+z=•1•和4x+10y+z=2005,求分式x3y2004x2004y2004z的值. 解:由题意得方程组 3x7yz1,4x10z2005.2(x3y)(xyz)1, 3(x3y)(xyz)2005.x3y2004,解之得xyz4007. 于是原式= x3y2004(xyz)14007. 评注:这里待求分式的分母是2004(x+y+z),分子是x+3y,尝试从已知的不定方程组中整体拆出x+y+z和x+3y,果然获得成功,再整体消元就能立即求出x+y+z与x+3y这两个整体的值. 十、竖式相除法 【例10】(2002年杭州市初中数学竞赛题)已知x-5x+1=0,求的值. 解:视2x4-9x3-x2-10x+2为被除式,x2-5x+1为除式,利用竖式相除法得 2x4-9x3-x2-10x+2 =(2x2+x+2)(x2-5x+1)+(-x). 22x9xx10x2x12432 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/5e154bec0975f46527d3e184.html