初一数学10二元一次方程的整数解情况

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初一数学10二元一次方程的整数解情况

甲内容提要

1 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,

a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果(a,b|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立,方程9x+3y=10 4x-2y=1都没有整数解, ∵(93)=3,而3不能整除1042)=2,而2不能整除1 一般我们在正整数集合里研究公约数,a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2 二元一次方程整数解的求法:

若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)k叫做参变数。

方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解 解:x=

111y51y

5

=

1y10y

5



1y5

2y (1) ,

k(k是整数),则y=1-5k (2) ,

把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2

x11k2

∴原方程所有的整数解是k是整数)

y15k

方法二,公式法

xx0xx0bk

ax+by=c有整数解则通解是x0,y0可用观察法)

yy0

yy0ak

3 求二元一次方程的正整数解:

出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k

用观察法直接写出。

乙例题

1求方程5x9y=18整数解的能通解 x=

189y

5



1510y3y

5

32y

3y5



3y5

kk为整数)y=35k, 代入得x=99k

22


∴原方程整数解是

x99ky35k

k为整数)

又解:当x=o时,y=2

x0x09y

∴方程有一个整数解它的通解是k为整数)

y2y25k

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

2,求方程5x+6y=100的正整数解 解:x=

y5

1006y

5

20y

y5

(1)

k(k为整数),则y=5k,(2)

把(2)代入(1)得x=20-6k

x0y0

解不等式组

206k05k0



0k<

206

,k的整数解是123

x14x8x2

∴正整数解是

y5y10y15

3,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本?

解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得

3x+5y=38 x,y都是正整数)

x1

x1时,y=7,∴是一个整数解

y7

∴通解是

x15ky73k

k为整数)

解不等式组

15k073k0

得解集是

15

k

73

∴整数k=012

k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解

x1x6x11



y7y4y1

答:甲、乙两种书分别买17本或64本或111本。



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丙练习10

1 求下列方程的整数解

①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解:①5x+7y=87, 5x+3y=110

3一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材? 4 兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97

求兄弟三人的岁数。 5 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号)

4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,

18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.

6, 一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答0分,小这军同学得48分,他最多得几分? 7 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:

y= x=

17y3



1

4

2











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本文来源:https://www.wddqw.com/doc/563efa1e64ec102de2bd960590c69ec3d5bbdbdf.html