初一数学10二元一次方程的整数解情况 甲内容提要 1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中, 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解, ∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2, 二元一次方程整数解的求法: 若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。 方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解 解:x=111y51y5=1y10y51y52y (1) , 设k(k是整数),则y=1-5k (2) , 把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2 x11k2∴原方程所有的整数解是(k是整数) y15k方法二,公式法: xx0xx0bk设ax+by=c有整数解则通解是(x0,y0可用观察法) yy0yy0ak3, 求二元一次方程的正整数解: ① 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值 ② 用观察法直接写出。 乙例题 例1求方程5x-9y=18整数解的能通解 解x=设189y51510y3y532y3y5 3y5k(k为整数),y=3-5k, 代入得x=9-9k 22 ∴原方程整数解是x99ky35k (k为整数) 又解:当x=o时,y=-2, x0x09y∴方程有一个整数解它的通解是(k为整数) y2y25k 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2,求方程5x+6y=100的正整数解 解:x= 设y51006y520yy5(1), k(k为整数),则y=5k,(2) 把(2)代入(1)得x=20-6k, ∵x0y0 解不等式组206k05k0 得0<k<206,k的整数解是1,2,3, x14x8x2∴正整数解是 y5y10y15例3,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本? 解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得 3x+5y=38 (x,y都是正整数) x1∵x=1时,y=7,∴是一个整数解 y7∴通解是x15ky73k(k为整数) 解不等式组15k073k0得解集是15k73 ∴整数k=0,1,2 把k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解x1x6x11 y7y4y1答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 23 丙练习10 1, 求下列方程的整数解 ①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解:①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3,一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材? 4, 兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。 5, 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号) ① 4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 6, 一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分? 7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解: y= x= 17y3 1 4 -2 24 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/563efa1e64ec102de2bd960590c69ec3d5bbdbdf.html