中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
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中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF＝BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF； （3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长． 第1页（共57页） 2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． [问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ ，可推证△CEF是 三角形，从而求得∠DCE＝ ． [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数． [拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝ 第2页（共57页） ，请直接写出BE的最小值． 3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证：AD＝2DC． （2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由． 第3页（共57页） 4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF． （1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为 ；∠EFC的度数为 ； （2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度． 第4页（共57页） 5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD． （1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由． 第5页（共57页） 6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是 BD＝CE ． 【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值． 第6页（共57页） 7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为 （用含a，b的式子表示）； （2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB． ①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值； （3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值． 第7页（共57页） 8、【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程． 第8页（共57页） 9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长． 第9页（共57页） 10、模型发现： 同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化． 因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长． 特别的，当点C位于 时，线段BC的长取得最大值，且最大值为 （用含b，c的式子表示）（直接填空）. 模型应用： 点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE． （1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 ． 模型拓展： 如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值． 第10页（共57页） 11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF； （2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明； （3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值． 第11页（共57页） 12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H． （1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． ①求证：∠1＝∠2； ②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF； （2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求值． 的 第12页（共57页） 13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE． （1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长； （2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG； ①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC； ②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系． 第13页（共57页） 14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD； （1）如图1，求证：AB＝2CD； （2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度． 第14页（共57页） 15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB 于点G，求证：△CDE≌△EGF． （1）阅读理解，完成解答 本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程； （2）特殊位置，证明结论 若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF； （3）知识迁移，探究发现 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程） 第15页（共57页） 16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC． （1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论； （3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线． 第16页（共57页） 17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF． （1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED； （2）如图2，求证：EF+FD＝AF； （3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积． 第17页（共57页） 18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD． （1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD； （2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长． 第18页（共57页） 中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题 参考答案 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF＝BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF； （3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长． 证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∵CG平分∠ACB， ∴∠ACG＝∠BCG＝45°， ∴∠A＝∠BCG， 在△BCG和△CAF中， ∵， ∴△BCG≌△CAF（ASA）， ∴CF＝BG； （2）如图2，∵PC∥AG， ∴∠PCA＝∠CAG， ∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG， ∴△ACG≌△BCG， ∴∠CAG＝∠CBE， ∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°， ∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°， ∴∠PCG＝∠PGC， ∴PC＝PG， 第19页（共57页） ∵PB＝BG+PG，BG＝CF， ∴PB＝CF+CP； （3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M， ∵S△AEG＝AG•EM＝3， 由（2）得：△ACG≌△BCG， ∴BG＝AG＝6， ∴×6×EM＝3EM＝， ， 设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°， ∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°， ∵∠ACH＝45°， ∴2x+x＝45， x＝15， ∴∠ACF＝∠GAC＝30°， 在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2AM＝∴M是AG的中点， ∴AE＝EG＝2， ， ＝3， ， ∴BE＝BG+EG＝6+2在Rt△ECB中，∠EBC＝30°， ∴CE＝BE＝3+∴AC＝AE+EC＝2， +3+＝3+3． 解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6， 如图4，过G作GM⊥AC于M， 在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°， ∴GM＝CM＝3， ∴AC＝AM+CM＝3+3． 第20页（共57页） ＝＝3， 2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． [问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ ADB ，可推证△CEF是 等腰直角 三角形，从而求得∠DCE＝ 135 °． [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数． [拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝解：[问题初探] 如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F， ∴∠DFE＝90°＝∠ABD， ∴∠EDF+∠DEF＝90°， 由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADB+∠EDF＝90°， ∴∠ADB＝∠DEF， ∴△ABD≌△DFE（AAS）， ∴BD＝EF，DF＝AB， ∵AB＝BC， ∴BC＝DF， ∴BD＝CF， ∴EF＝CF， ∴△CEG是等腰直角三角形， 第21页（共57页） ，请直接写出BE的最小值． ∴∠ECF＝45°， ∴∠DCE＝135°， 故答案为：ADB，等腰直角，135； [继续探究] 如图3， 过点E作EF⊥BC于F， ∴∠DFE＝90°＝∠ABD， ∴∠EDF+∠DEF＝90°， 由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADB+∠EDF＝90°， ∴∠ADB＝∠DEF， ∴△ABD≌△DFE（AAS）， ∴BD＝EF，DF＝AB， ∵AB＝BC， ∴BC＝DF， ∴BD＝CF， ∴EF＝CF， ∴△CEG是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝45°， ∴∠DCE＝45°； [拓展延伸] 如图4， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝∴∠ACB＝45° 当点D在射线BC上时， 由[问题初探]知，∠BCM＝135°， ∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°， 当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°， 第22页（共57页） ， ∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点， ∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE， ∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为． 3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证：AD＝2DC． （2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由． 证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB， 第23页（共57页） ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DC＝DE， ∵∠A＝30°，DE⊥AB， ∴AD＝2DE， ∴AD＝2DC； （2）如图2，过点M作ME∥BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∵BM平分∠CBD， ∴∠CBM＝15°＝∠DBM， ∵ME∥BD， ∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE， ∴ME＝BE， ∵∠MEC＝30°，∠C＝90° ∴CE＝∴BC＝MC＝+2， ，ME＝2MC＝2＝BE， ∵∠CBD＝30°，∠C＝90°， ∴BC＝CD， 第24页（共57页） ∴CD＝1+∴DM＝， ， ×（+2）＝1+； ∴△DBM的面积＝×（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN， 理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD， ∵DN＝DW，且∠WDN＝60° ∴△WDN是等边三角形， ∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°， ∴∠WNG＝∠BND， 在△WGN和△DBN中， ∴△WGN≌△DBN（SAS）， ∴BD＝WG＝DG+DN， ∴AD＝DG+DN． （3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN， 理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN， 第25页（共57页） 由（1）得DA＝DB，∠A＝30°． ∵DE⊥AB于点E． ∴∠2＝∠3＝60°． ∴∠4＝∠5＝60°． ∴△NDH是等边三角形． ∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°． ∴∠H＝∠2． ∵∠BNG＝60°， ∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7． 即∠DNG＝∠HNB． 在△DNG和△HNB中， ∴△DNG≌△HNB（ASA）． ∴DG＝HB． ∵HB＝HD+DB＝ND+AD， ∴DG＝ND+AD． ∴AD＝DG﹣ND． 4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF． （1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为 EF＝CF ；∠EFC的度数为 120° ； （2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另第26页（共57页） 有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度． 解：（1）如图1中， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵∠BCD＝90°，BF＝DF， ∴FE＝FB＝FD＝CF， ∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°， 故答案为：EF＝CF，120°． （2）结论成立． 理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN． ∵BM＝MA，BF＝FD， ∴MF∥AD，MF＝AD， ∵AN＝ND， ∴MF＝AN，MF∥AN， ∴四边形MFNA是平行四边形， ∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF， 第27页（共57页） 在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°， ∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB， 在△AEN和△ACM中， ∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC， ∵∠MAC＝∠EAN， ∴∠AMC＝∠ANE， 又∵∠FMA＝∠ANF， ∴∠ENF＝∠FMC， 在△MFC和△NEF中， ， ∴△MFC≌△NEF（SAS）， ∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF， ∵NF∥AB， ∴∠NFD＝∠ABD， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60° ∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°． （3）如图3中，作EH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3， ∴AB＝2BC＝6， 在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2， ∴DE＝AD＝1， 在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1， 第28页（共57页） ∴EH＝ED•sin60°＝DH＝ED•cos60°＝， 在Rt△EHG中，EG＝， ＝． 5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD． （1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由． 解：（1）BC＝2BD，理由： 如图2，连接CD， 由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°， ∴△CDP是等边三角形， ∴∠CDP＝60°＝∠PCD， 又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°， ∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB， ∴∠BCD＝30°， 即BC平分∠PCD， ∴BC垂直平分PD， ∴∠BDC＝∠BPC＝90°， ∴Rt△BCD中，BC＝2BD． （2）如图3，取BC中点F，连接PF， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， 第29页（共57页） ∵P是AB的中点，F是BC的中点， ∴PF是△ABC的中位线， ∴PF∥AC， ∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°， ∴△BPF是等腰直角三角形， ∴BF＝BP，BP＝PF， ∵∠DPC＝∠BPF＝90°， ∴∠BPD＝∠FPC， 又∵PD＝PC， ∴△BDP≌△FCP， ∴BD＝CF， ∵BC＝BF+FC， ∴BC＝BD+BP． 6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是 BD＝CE ． 【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值． 第30页（共57页） 【发现问题】 解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN， 在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示： ∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形， ∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE， 【拓展探究】 解：BD＝CE；理由如下： ∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形， ∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE； 【解决问题】 解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示： 则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8， ∵AD＝CD，∠ADC＝60°， 第31页（共57页） ， ， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠CAD＝60°，AC＝AD， ∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC， 即∠BAD＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE； 当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23， ∴BD的最大值为23． ， 7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为 a+b （用含a，b的式子表示）； （2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB． ①求证：AE＝DB； ②请直接写出线段AE的最大值； （3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值． 第32页（共57页） （1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a， ∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b， （2）①证明：如图2中， ∵△ACD与△BCE是等边三角形， ∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠DCB＝∠ACE， 在△CAD与△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴AE＝BD． ②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值， 由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上， ∴最大值为AD+AB＝3+10＝13； （3）如图3中，连接BN， ， ∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP， 则△APM是等腰直角三角形， ∴MA＝MP＝2，BP＝AN， ∴PA＝2 ， 第33页（共57页） ∵AB＝6， ∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值， ∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+28、【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程． ． 解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由： 如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， 再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， 第34页（共57页） ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）∠EAF＝180°﹣∠DAB． 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 又∵AB＝AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°﹣∠DAB． 第35页（共57页） 9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长． 解：（1）CP＝BQ，理 由：如图1，连接OQ， 由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅ ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中，∴△COP≌△BOQ（SAS）， ∴CP＝BQ， （2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ， 由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60° ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60° ，在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB， 第36页（共57页） ， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中，∴△COP≌△BOQ（SAS）， ∴CP＝BQ， （3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝， ， 过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB， ∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝， ∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH， ∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝． ， 连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝ 10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化． 因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长． 特别的，当点C位于 线段BA的延长线上 时，线段BC的长取得最大值，且最大值为 b+c （用含b，c的式子表示）（直接填空） 模型应用： 点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE． （1）求证：BD＝AE． （2）线段AE长的最大值为 5 ． 模型拓展： 第37页（共57页） 如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值． 解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c， 故答案为：线段BA的延长线上；b+c； 模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形， ∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE， 在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE； （2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5， ∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5， 模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG， 在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9． ＝＝5， 11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF； （2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明； （3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值． 第38页（共57页） （1）证明：如图1中， ∵BE⊥AD于E， ∴∠AEF＝∠BCF＝90°， ∵∠AFE＝∠CFB， ∴∠DAC＝∠CBF， ∵BC＝CA， ∴△BCF≌△ACD， ∴BF＝AD． （2）结论：BD＝2CF． 理由：如图2中，作EH⊥AC于H． ∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°， ∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°， ∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE， ∴△ACD≌△EHA， 第39页（共57页） ∴CD＝AH，EH＝AC＝BC， ∵CB＝CA， ∴BD＝CH， ∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC， ∴△EHF≌△BCF， ∴FH＝CF， ∴BD＝CH＝2CF． （3）如图3中，同法可证BD＝2CM． ∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴ 12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H． （1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． ①求证：∠1＝∠2； ②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF； （2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值． ＝＝． （1）①证明：如图1中， 第40页（共57页） ∵AB＝AC，∠ABC＝60° ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD⊥BN， ∴∠ADB＝90°， ∵∠MBN＝30°， ∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF， ∴∠1＝∠2 ②证明：如图2中， 在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°， ∴BF＝2DF， ∵BF＝2AF， ∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC， ∴△BFC≌△ADB， ∴∠BFC＝∠ADB＝90°， ∴BF⊥CF （2）在BF上截取BK＝AF，连接AK． 第41页（共57页） ∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1， ∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC， ∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC， ∴∠1+∠4＝∠2+∠4 ∴∠1＝∠2，∵AB＝AC， ∴△ABK≌CAF， ∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC， ∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF， ∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF， ∴AF＝FK＝BK， ∴S△ABK＝S△AFK， ∴＝2． 13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE． （1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长； （2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG； ①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC； ②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系． （1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME． 第42页（共57页） 在Rt△ABE中，∵OB＝OE， ∴BE＝2OA＝2， ∵MB＝ME， ∴∠MBE＝∠MEB＝15°， ∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝∵AB2+AE2＝BE2， ∴（2x+∴x＝x）2+x2＝22， （负根已经舍弃）， ）•+1． ， x， ∴AB＝AC＝（2+∴BC＝AB＝方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题． （2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M． ∵BE⊥AP， ∴∠AHB＝90°， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAH+∠PAC＝90°， ∴∠ABE＝∠PAC， 在△ABE和△CAP中， 第43页（共57页） ， ∴△ABE≌△CAP， ∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P， 在△DCF和△DCP中， ， ∴△DCF≌△DCP， ∴∠DFC＝∠P， ∴∠GFE＝∠GEF， ∴GE＝GF，∵GM⊥EF， ∴FM＝ME， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， ∴AM＝CM， 在△GAH和△GAM中， ， ∴△AGH≌△AGM， ∴AH＝AM＝CM＝AC （3）解：结论：AG＝EF． 理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O． 第44页（共57页） 由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM， ∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF， ∵△EFP是由△EFG翻折得到， ∴EG＝EP＝GF＝PF， ∴四边形EGFP是菱形， ∴PG⊥AC，OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴AO＝OC， ∵AB∥OP， ∴BP＝PC， ∵PF∥BE， ∴EF＝CF＝AE， ∵PB＝PC，AO＝OC， ∴PO＝OG＝AB， ∴AB＝PG，AB∥PG， ∴四边形ABPG是平行四边形， ∴AG∥BC， ∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3∴＝＝EF ， a， ∴AG＝14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD； （1）如图1，求证：AB＝2CD； （2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度． 第45页（共57页） 解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D， ∴AD＝CD， ∵∠ACB＝90°， ∴BC∥DE， ∴AD＝BD， ∴CD＝BD， ∴AB＝2CD； （2）如图2，连接CH， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵DE⊥AC， ∴CH＝AH， ∴∠ACH＝∠CAH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵CF⊥AB， ∴∠BAC+∠ACF＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B， ∠AHG＝2∠B ∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠FAH＝360°， ∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠FAH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC） ＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH）， ∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG， ∴CH＝GH， 第46页（共57页） ∵CH＝AH， ∴AH＝GH； （3）如图3， 由（1）知，DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，， ∴△BFC≌△DEA， ∴BC＝AD， ∵AD＝BD＝CD， ∴BC＝BD＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠B＝60°， 在Rt△ABC中，AC＝6， ∴BC＝2，AB＝4， ∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3， ∵∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝60°， ∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°， 在Rt△DFG中，DF＝， ∴FG＝1，DG＝2， ∴CG＝CF﹣FG＝2 过点H作HN⊥CF， 由（2）知，CH＝GH， ∴NG＝CG＝1， ∴FN＝NG+FG＝2， 过点H作HM⊥AB， ∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形， ∴HM＝FN＝2， 第47页（共57页） 在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2， ∴DH＝， ＝． 在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝ 15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB 于点G，求证：△CDE≌△EGF． （1）阅读理解，完成解答 本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程； 第48页（共57页） （2）特殊位置，证明结论 若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF； （3）知识迁移，探究发现 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程） （1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴CE＝EF， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴∠CDE＝∠EGF＝90°， 在△CDE和△EGF中， ， ∴△CDE≌△EGF（AAS）； （2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠2， 在△ACE和△BEF中， 第49页（共57页） ， ∴△ACE≌△BEF（AAS）， ∴AE＝BF； （3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示： 设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x， 根据勾股定理得：BC＝AC＝2∵∠ABC＝45°，EH⊥BC， ∴BH＝x， x， x， ∴CH＝BC﹣BH＝∵EC＝EF， ∴FH＝CH＝∴BF＝∴＝． x﹣x， x＝， x， ∴AE＝ 16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC． （1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论； （3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线第50页（共57页） 上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线． 证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°， ∴CD∥GF， ∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG， ∴△DPE≌△FPG（ASA） ∴PE＝PG，DE＝GF， ∵BC＝CD， ∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG， ∴CP＝PG； （2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG， ∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG， ∴△DPE≌△FPG（SAS） ∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP， ∵GF＝GB， ∴DE＝BG， ∵DC∥BF， ∴∠CDP＝∠BFP， ∴∠CDE＝∠BFG＝∠CBG＝45°， ∵DC＝BC，∠CDE＝∠CBG，DE＝BG， ∴△CDE≌△CBG（SAS） ∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG， ∴∠ECG＝90°，且CE＝CG，PE＝OG， ∴PC＝PG （3）PG＝ PC． 第51页（共57页） 理由如下：如图3， 延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP， ∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP， ∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC， ∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上， ∴∠GBC＝120°， ∵△BFG是等边三角形， ∴GF＝GB， ∴HD＝GB， ∴△HDC≌△GBC， ∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG， ∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120° ∵CH＝CG，PH＝PG， ∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°， ∴PG＝ 第52页（共57页） PC． 17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF． （1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED； （2）如图2，求证：EF+FD＝AF； （3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积． （1）证明：∵AE＝AD，∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∵∠AEB＝180°， ∴∠DEF+∠BEC＝120°， 在△ABD中，∠BAC+∠ABD+∠ADB＝180°， ∴∠ABD+ADB＝120°， ∴∠DEF+∠BEC＝∠ABD+∠ADB， ∵∠BEC＝∠ADF， ∴∠ABD＝∠CED； （2）证明：如图2，延长FD到点K，使DK＝EF，连接AK， ∵∠ADK+∠ADF＝180°，∠BEC+∠AEC＝180°， ∵∠BEC＝∠ADF， ∴∠AEF＝∠ADK， ∴AE＝AD， ∴△AEF≌△ADK， ∴∠EAF＝∠DAK，AF＝AK， ∵∠EAF+∠FAD＝60°， ∴∠DAK+∠FAD＝60°， ∴∠FAK＝60°， 第53页（共57页） ∴△AFK是等边三角形， ∴AF＝FK， ∵FK＝FD+DK， ∴AF＝FD+EF； （3）如图3，延长FK到点M，使KM＝FC，连接AM， 由（2）知，∠AKF＝∠AFE＝60°， ∴∠AFC＝∠AKM＝120°， ∵AF＝AK， ∴△AEC≌△AKM， ∴AC＝AM，∠FAC＝∠KAM， ∴∠FAK＝∠CAM＝60°， ∴∠BAM＝120°， 延长AG到点N，使NG＝AG，连接BN， ∵BG＝GC，∠BGN＝∠CGA， ∴△BGN≌△CGA， ∴BN＝AC＝AM，∠NBG＝∠ACG， ∵∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠ABC+∠NBG＝120°， ∴∠NBA＝∠MAB＝120°， ∵AB＝AB， ∴△ABN≌△BAM， ∴∠BAN＝∠ABM， ∴HB＝HA＝7， 过点B作BP⊥AN于P， ∵∠GAC＝3∠ABD， ∴∠GAC＝3∠BAH， ∴∠BAH＝15°， ∴∠BHP＝30°， ∵BH＝7， 第54页（共57页） ∴BP＝， ∴S△ABH＝AH•BP＝． 18.点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD． （1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD； （2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长． （1）证明：在△AEF和△ADF中， ， ∠FAE＝∠FAD，∠AEF＝∠ADF，FE＝FD， ∴△AEF≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AD； （2）证明：过点F分别作AB，BC，AC边上的高，FP，FQ，FN，点P，Q，N为垂足， ∵AF，BF分别平分∠BAC和∠ABC， ∴FP＝FQ，FP＝FN， ∴FQ＝FN，且FN⊥AC，FQ⊥BC， ∴CF平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝2∠BAF+∠ACE 第55页（共57页） ∴∠EFD＝∠ABF+∠BEC ＝∠ABF+2∠BAF+∠ACE ＝×180°+∠BAF＝90°+∠BAF， 在Rt△PEF和Rt△NDF中， ， ∴Rt△PEF≌Rt△NDF（HL）， ∴∠PEF＝∠FDN， ∴∠PEF+∠ADF＝180°， ∴∠BAC+∠EFD＝180°， ∴90°+∠BAF+∠BAC＝180°且∠BAC＝2∠BAF， ∴∠BAC＝60°； （3）解：在BC上取点R，使CR＝CA， 在△CAF和△CRF中， ， ∴△CAF≌△CRF（SAS）， ∴∠CRF＝∠CAF＝30°，∠BRF＝180°﹣∠CRF＝150°， ∵∠CFG＝∠AFB， ∴∠CFG﹣∠BFG＝∠AFB﹣∠BFG， ∴∠AFG＝∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAF＝∠BAC＝30°， ∴∠AGF＝30°，∠BGF＝180°﹣∠AGF＝150°， ∴∠BGF＝∠BRF， 在△BGF和△BRF中， ∴△BGF≌△BRF（AAS）， ∴BG＝BR， ∵AC+AB+BC＝BG+AG+BC+AC＝BR+AG+BC+CR＝6+2BC＝20， 第56页（共57页） ∴BC＝7． 第57页（共57页） 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7e59c9ec88d63186bceb19e8b8f67c1cfad6ee97.html