(甘志国)一类三角形面积比问题

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一类三角形面积比问题

甘志国(已发表于数理化学习(高一二版)，2015(11)：2-3)

定理在ABC中，点P满足PAPBPC0(,,R,且

则0，0)，SPBC:SPCA:SPAB::(当P,B,C共线时，约定SPBC0；当P,C,A共线时，约定SPCA0；当P,A,B共线时，约定SPAB0).

证明以射线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，设

A(u,0),B(u,0),C(v,w)，得uw0.又设P(x,y)，由PAPBPC0得

APBPCP0，所以

(xu,y)(xu,y)(xv,yw)(0,0)

()yw

若0，得w0，因为uw0，所以0，得0.

再由PAPBPC0，得AB0,0，所以0，这与题设

0矛盾！所以0，得y

SPAB

. 

SABC

w

.



又C(v,w)，所以

同理，有

SPBCS

. ,PCA

SABCSABC

所以SPBC:SPCA:SPAB

::.定理获证.

图1

注有很多文献(比如[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了,,R.

推论1 若点P在ABC内，则SBPCPASCPAPBSAPBPC0. 推论2 (1)若点G是ABC的重心，则GAGBGC0； (2)若点I是ABC的内心，则aIAbIBcIC0；

(3)若点O是锐角ABC的外心，则sin2AOAsin2BOBsin2COC0； (4)若点H是锐角ABC的垂心，则tanAHAtanBHBtanCHC0. 证明只证(4).

如图2，设CHABM,BHACN，得

SAHBHMBMtanHBM1

 SABCCMBMtanBtanAtanB

同理，有

SCHAS11,BHC. SABCtanCtanASABCtanBtanC

所以SBHC:SCHA:SAHBtanA:tanB:tanC，再由推论1可得欲证.

图2

2008年南京大学自主招生试题第三题设O是ABC内任意一点，证明：

SBOCOASCOAOBSAOBOC0.

(显然，该题就是推论1.)

2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题设M为ABC内一点，且

AM

11

ABAC，则ABM与ABC的面积之比为( ) 451221A. B. C. D. 5354

解 A.可得020MA5AB4AC11MA5AB4MC，由推论1，得

ABM与ABC的面积之比为

41

.

11545

参考文献

1 吕辉.三角形面积比问题的解法探究[J].中学生数学，2010(4上)：21

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8bc6015402d276a201292ecf.html

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