正弦定理的证明及外接圆圆心位置的探究 福建省武平县 英才教育 林清辉 364300 我们知道在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，也就是： abc，这里各边长和所对角的正弦比值会相等，那会等于多少呢？ sinAsinBsinCabc2R（其中R是外接圆的我们引入三角形的外接圆，可以证明其实sinAsinBsinCa2R） 半径）证明过程如下：（因为三边的证明过程相同，所以这里只证明sinA假设B，A，N是BC中点,PC⊥BA于P。 情况一：当B是锐角，A是钝角。 即点A在线段BP间时，因为A大于90°，我们可以判断出外接圆圆心O的位置是在BC直线不同于A的一侧，也就是图中BC的下方。（如果O与A在BC的同一侧，那∠BOC=2∠A＞180°，显然∠BOC最多只有180°，矛盾，所以O在BC的下方）此时A1(360BOC) 2。 图一 a()NCa sinAsin2OCR2Raa所以2R asinA()2R情况二：当B、A都是锐角。因为∠A是锐角，所以外接圆圆心O在BC上方。如图二。 图二 1BOCNOC, 2a()NCasinAsinNOC2 OCR2Raa2R 所以sinA(a)2R此时A情况三，当∠B是锐角，∠A是直角，即点A与点P位置重合，此时O与N重合aaa2NC2R sinAsin90情况四，当∠B是直角,此时O在AC上，如图三，也可以得到a2R sinA 图三 情况五，∠B是钝角，∠A是锐角，如图四 图四 1BOCNOC 2a()NCasinAsinNOC2 OCR2Raa2R 所以sinA(a)2R此时A综上，在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦值之比等于这个三角形外接圆的直径，即 abc2RsinAsinBsinC。 锐角三角形外接圆圆心的位置在三角心内，钝角三角形外接圆圆心在三角形外，直角三角心在直角所对的边上。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8cbc562551ea551810a6f524ccbff121dd36c59c.html