高三数学直线部分知识整理

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高三数学回归书本知识整理(解析几何)

直线部分

一、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着

交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为0o，所以直线的倾斜角的范

围是0o180o；

（2）直线的斜率：倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，

ktan

①斜率是用来表示倾斜角不等于90o的直线对于x轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 ③斜率计算公式：

设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k，则当x1x2时，ktan

二、直线方程的几种形式：

（1）点斜式：过已知点(x0,y0)，且斜率为k的直线方程：yy0k(xx0)；

注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx0；

yy0xx0

y1y2x1x2

；当x1x2时，90o；斜率不存在；

②

k表示：yy0k(xx0)直线上除去(x0,y0)的图形。

（2）斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程：ykxb；

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区

别。

（3）两点式：若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且（x1x2,y1y2），则直线的

方程：

yy1y2y1

xx1x2x1

；

注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

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②当两点式方程写成如下形式(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0时，方程可以适应在于任何一条直线。

（4）截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a0,b0）则直线方程：

xa

yb

1；

注意：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表

示过原点的直线，要谨慎使用。

xx0at

（5）参数式：（t为参数）其中方向向量为(a,b)，(

yybt0|PPo|

|t|ab

2

2

aab

2

2

,

bab

2

2

k)；

ba

；

；

点P1,P2对应的参数为t1,t2，则|P1P2|

|t1t2|ab

2

2

；

xx0tcos

（t为参数）其中方向向量为(cos,sin)， t的几何意义为

yytsin0

|PPo|；斜率为tan；倾斜角为(0)。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：AxByC0；（A,B不同时为零）；

反之，任何一个二元一次

方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特

殊形式，这要看系数A,B,C是否为0才能确定。

BAB

2

2

②指出此时直线的方向向量：(B,A)，(B,A)，(,

AAB

2

2

)

（单位向量）；直线的法向量：(A,B)；（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系：

位置关系平行



l1:yk1xb1

l2:yk2xb2

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

A1A2A1A2

B1B2B1B2

C1C2C1C2

k1k2，且b1b2

重合 

k1k2，且b1b2



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相交垂直



k1k2 k1k21

l1:yk1xb1l2:yk2xb2

A1A2



B1B2



A1A2B1B20

设两直线的方程分别为：或

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

；当k1k2或

yk1xb1或A1x

A1B2A2B1时它们相交，交点坐标为方程组

yk2xb2

B1yC10解；

AxB2yC202

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：(A1,B1)(A2,B2)

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如(A1,B1)(A2,B2)0 ②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于A1A2B1B20来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）l1到l2的角：把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；它是有向角，其范

围是0；

注意：①l1到l2的角与l2到l1的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，

它的取值范围是0

（3）设两直线方程分别为：



2

；

l1:yk1xb1

或l1:A1xB1yC10

l2:yk2xb2l2:A2xB2yC20

k2k11k2k1

①若为l1到l2的角，tan或tan



A1B2A2B1A1A2B1B2

；

②若为l1和l2的夹角，则tan



k2k11k2k1

或tan



A1B2A2B1A1A2B1B2

；

③当1k1k20或A1A2B1B20时，

90

o

；

注意：①上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂

直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

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②直线l1到l2的角与l1和l2的夹角：

五、点到直线的距离公式：

(

2

)

或

(

2

)

；

设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，点P到l的距离为：d



|Ax0By0C|

AB

2

2

；

两平行线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的距离为：d六、直线系：



|C1C2|AB

2

2

；

（1）设直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，经过l1,l2的交点的直线方程

为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（除去l2）；

如：①ykx1y1kx0，即也就是过y10与x0的交点(0,1)除去x0

的直线方程。

②直线l:(m1)x(2m1)ym5恒过一个定点。注意：推广到过曲线f1(x,y)0与（2）与l:Ax（3）与l:Ax

f2(x,y)0的交点的方程为：f1(x)f(x2)0

；

ByC0平行的直线为AxByC'0； ByC0垂直的直线为BxAyC'0；

七、对称问题：（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点

(2ca,2db)

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线l1:2x3y60关于点P(1,1)对称的直线l2的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称： Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用

中点坐标公式求解。如：求点A(3,5)关于直线l:3x4y40对称的坐标。

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②直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）

Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距

离相等。

Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a

的方程。

如：求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线b的方程。

八、简单的线性规划：

（1）设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0， ①若点P在直线l上，则

Ax0By0C0；

②若点P在直线l的上方，则B(Ax0By0C)0；③若点P在直线l的下方，则

B(Ax0By0C)0；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式AxByC0(0)，

①当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

②当B0时，则AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；

AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；

注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越大；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；

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②当B0时，将直线AxBy0向上平移，则zAxBy的值越来越小；

直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包

括周界），目标函数zxay取得最小值的最优解

y

C(4,2)

有无数个，则a为；

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O

A(1,1)

B(5,1)

x

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本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8fa882023269a45177232f60ddccda38366be170.html

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