word可编辑，欢迎下载使用！ 2016年北京大学数学科学夏令营初赛试题 本试卷共4题，每题30分，满分120分，考试时间180分钟． 01、已知锐角△ABC中，∠B=60，P为AB中点，Q为外接圆上弧AC(不包含点B)的中点，H为△ABC的垂心．如果P,H,Q三点共线，求∠A． 2、求所有的整系数多项式P(x)，使得存在一个无穷项整数数列{an}，其中任意两项互不相等，且满足：P(a1)=0，P(ak+1)=ak (k=1,2,⋯)． 3、给定正整数n，有2n张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为1到2n．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如n=3时，初始顺序为123456，操作后依次得到135246，154326，142536，123456． 证明：对任意正整数n，操作不超过2n−2次后，这堆牌的顺序会变回初始状态． 4、给定正整数p,q，数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=pan+1+qan (n=1,2,3⋯)．求证：要使得对任意正整数m,n，均有(am,an)=a(m,n)，当且仅当p=1时成立． 2016年北京大学数学科学夏令营初赛试题 参考答案 1、答案 75． 解 如图，设O为外接圆圆心，延长CO交外接圆于D，则四边形BHAD为平行四边形，因此D,P,H三点共线，进而D,P,H,Q四点共线． 0连接OH,BQ，由∠B=60，于是 BH=AD=CD/2=OQ, 又OB=OQ，因此BHQO为菱形，从而 ∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA, 又 ∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ, 0因此BO,BQ,BH将∠CBA四等分，进而不难得知∠A=75． 2、答案 P(x)=x+C，其中C∈Z． 解 设 mP(x)=λ0+λ1x+⋯+λmx, 其中m∈N∗，λi∈Z (i=0,1,2,⋯,m)，则 P(ak+1)−P(ak+2)=ak−ak+1,k=1,2,⋯, 而 22mmP(ak+1)−P(ak+2)=λ1(ak+1−ak+2)+λ2(ak+1−ak+2)+⋯+λm(ak+1−ak+2), 因此 (ak+1−ak+2)∣(ak−ak+1),k=1,2,⋯, 因此 ∣a1−a2∣⩾∣a2−a3∣⩾∣⋯⋯⩾|ak−ak+1|⩾|ak+1−ak+2|⩾⋯. 由于∣a1−a2∣的值有限，因此必然存在K，使得当k⩾K且k∈Z时，有 ∣ak−ak+1∣=∣ak+1−ak+2∣=∣ak+2−ak+3∣=⋯. 由于数列{an}中任意两项互不相等，因此有 ak−ak+1=ak+1−ak+2=ak+2−ak+3=⋯, 因此有 P(ak+1)−ak+1=P(ak+2)−ak+2=⋯. 若m⩾2，则方程 1 0word可编辑，欢迎下载使用！ P(x)−x=P(aK+1)−aK+1 有无数个解，矛盾．这样得到了所有符合题意的整系数多项式P(x)=x+C，其中常数C∈Z 3、证明 我们证明一个等价的命题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，然后与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌)，如初始顺序为123456，操作后依次得到142536，154326，135246，123456．将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为1和2n)重合，将第一张牌的位置记为1，顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,⋯,2n-1．定义纸牌m顺时针旋转到纸牌n时旋转的步数为纸牌m到n的距离，记为d(m→n)，如图中d(2→3)=3． 下面证明经过k次操作(k∈N∗)后 d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n), 用数学归纳法． 归纳基础 当k=1时，有 d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=1, 命题成立． 归纳假设与递推证明 设当k=p时，有 d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=q. 不难计算得经过操作后位置x的纸牌将会移动到位置 f(x)=(2x−1)%(2n−1), 其中t%s表示t模s的余数，因此原来距离为q的纸牌在操作后距离为(2q)%(2n−1) ．因此经过p+1次操作后，仍然有 d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n). 综上所述，经过k次操作(k∈N∗)后 d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n). 这就意味着当纸牌2的位置确定时，其他所有纸牌的位置都可以依靠该性质确定．而纸牌2至多只有2n−2种可能的位置，并且纸牌2的所在的位置不可能出现不包含位置2的循环．这是因为操作是可以反向的，因此如果出现不包含位置22的循环，那么可以断定最初的状态纸牌2所在的位置不可能为2．因此经过不超过2n−2次操作后，纸牌2必然回到位置2，原命题得证． 4、证明 必要性 根据题意，有 而由(a3,a4)=a1，可得(p,q)=1；又由(a3,a6)=a3，可得 22p+q∣pq+q, 即 p+q∣pq(p−1)+q(p+q), 因此p=1． 充分性 当p=1时，an+2=an+1+qan，于是 （an+2,q)=(an+1+qan,q) =(an+1,q)=⋯ =(a1,q)=1, 进而 (an+1,an+2)=(an+1,an+1+qan) =(an+1,an)=⋯ =(a1,a2)=1. 记a0=0，用数学归纳法可以证明对任意m,n∈N∗，m⩽n，均有 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/90f5ac4a112de2bd960590c69ec3d5bbfc0ada36.html