2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷及答案解析(含答题卡)
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2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2的相反数是（ ） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 2．（3分）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2） D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 24．（3分）如图，下面几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．（3分）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 的解集是（ ） 6．（3分）不等式组A．﹣1＜x≤3 B．1≤x＜3 C．﹣1≤x＜3 D．1＜x≤3 第1页（共34页） 7．（3分）样本数据3，2，4，a，8的平均数是4，则这组数据的众数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 8．（3分）十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（ ） A．C．﹣﹣=4 =4 B．D．﹣﹣=4 =4 （x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边9．（3分）如图，双曲线y=﹣OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（ ） A． B． C．3 D．6 10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿第2页（共34页） 用科学记数法表示为 ． 12．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 13．（3分）计算：10ab3÷（﹣5ab）= ． 14．（3分）对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 cm2． 16．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y=（k≠0）经过点B，则k= ． 17．（3分）如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 18．（3分）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点An点A2作x轴的平行线交直线y=的横坐标为 ． 第3页（共34页） 三、解答题（19小题8分，20小题10分，共18分） 19．（8分）先化简，再求值：（（）﹣1． 20．（10分）如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7） +）÷，其中a=（π﹣）0+ 21．（14分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 第4页（共34页） （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图． （2）若该班同学没人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？ 饮品名称 自带白开 瓶装矿泉 碳酸饮料 非碳酸饮水 平均价格（元/瓶） （3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？ （4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别 0 水 2 3 料 4 交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题： （1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上； （2）求出边A1C1所在直线的解析式； （3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标． 第5页（共34页） 23．（12分）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数） 24．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长． 25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． 第6页（共34页） （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长 26．（14分）如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标； （3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标． 第7页（共34页） 2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2017•盘锦）﹣2的相反数是（ ） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣2的相反数是2， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 2．（3分）（2017•盘锦）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 第8页（共34页） 3．（3分）（2017•盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2） D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 2【分析】根据因式分解的意义即可求出答案． 【解答】解：（A）x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故A不是因式分解， （B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解， （D）ax2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全， 故选（C） 【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型． 4．（3分）（2017•盘锦）如图，下面几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面可看到第一行有三个正方形， 第二行最左边有1个正方形． 故选D． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5．（3分）（2017•盘锦）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进第9页（共34页） 入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【解答】解：由题意可得： 一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数， 故选D． 【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量． 6．（3分）（2017•盘锦）不等式组的解集是（ ） A．﹣1＜x≤3 B．1≤x＜3 C．﹣1≤x＜3 D．1＜x≤3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式＜1，得：x＜3， 解不等式2（x+2）+1≥3，得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（3分）（2017•盘锦）样本数据3，2，4，a，8的平均数是4，则这组数据的众数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【分析】根据平均数的定义求出a的值，再求出众数． 【解答】解：a=4×5﹣3﹣2﹣4﹣8=3， 则这组数据为3，2，4，3，8； 众数为3， 故选B． 【点评】本题考查了平均数和众数，求出a的值是解题的关键． 第10页（共34页） 8．（3分）（2017•盘锦）十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（ ） A．C．﹣﹣=4 =4 B．D．﹣﹣=4 =4 【分析】原来参加游玩的同学为x名，则后来有（x+4）名同学参加，根据增加4名学生之后每个同学比原来少分担4元车费，列方程即可． 【解答】解：由题意得：故选D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 9．（3分）（2017•盘锦）如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交=4， 点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（ ） A． B． C．3 D．6 【分析】根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|，代入k值即可得出结论． （x＜0）经过点D，【解答】解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线y=﹣AC⊥y轴， ∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3． 第11页（共34页） 故选C． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，找出出SCOD=2|k|是解题的关键． 平行四边形ABCO=4S△ 10．（3分）（2017•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵顶点坐标（1，n）， ∴对称轴为直线x=1， ∴﹣=1， ∴b=﹣2a＞0， ∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点）， ∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误， 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确， ∵与x轴交于点A（﹣1，0）， 第12页（共34页） ∴a﹣b+c=0， ∴a﹣（﹣2a）+c=0， ∴c=﹣3a， ∴3≤﹣3a≤4， ∴﹣≤a≤﹣1，故③正确， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴当x=1时，函数有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确， 一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误， 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 故选B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）（2017•盘锦）2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿用科学记数法表示为 1.45×1010 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将145亿用科学记数法表示为：1.45×1010． 故答案为：1.45×1010． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）（2017•盘锦）若式子 有意义，则x的取值范围是 x＞﹣ ． 第13页（共34页） 【分析】分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数，则2x+3＞0．由此求得x的取值范围． 【解答】解：依题意得：2x+3＞0． 解得x＞﹣． 故答案是：x＞﹣． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 13．（3分）（2017•盘锦）计算：10ab3÷（﹣5ab）= ﹣2b2 ． 【分析】根据整式的除法法则即可求出答案． 【解答】解：原式=﹣2b2， 故答案为：﹣2b2 【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 14．（3分）（2017•盘锦）对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是 ． 【分析】由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，求出概率即可． 【解答】解：由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形， ∴能判定▱ABCD是矩形的概率是， 故答案为． 【点评】本题考查概率公式、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．（3分）（2017•盘锦）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于第14页（共34页） 点E、F，则图中阴影部分的面积是 （2+2﹣π） cm2． 【分析】首先计算出AD长，进而可得BD和DC长，然后利用三角形ABC的面积减去扇形BED和DFC的面积即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=30°， ∴AD=AB=2cm， ∴BD=∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=CD=2cm， ∴BC=（2+2）cm， +2）×2﹣+2﹣π）． ﹣=2+2﹣π﹣=2+2﹣π， =2（cm）， ∴S阴影=×（2故答案为：（2【点评】此题主要考查了扇形的面积计算，以及勾股定理，关键是正确计算出AD、BD、CD长． 16．（3分）（2017•盘锦）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y=（k≠0）经过点B，则k= ﹣8或﹣32 ． 【分析】设AB交y轴于点C，利用垂径定理可求得PC的长，则可求得B点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值． 【解答】解： 设线段AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图， ∵⊙P与x轴相切，且P（0，﹣5）， 第15页（共34页） ∴PB=PO=5， ∵AB=8， ∴BC=4， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC=∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2， ∴B点坐标为（4，﹣2）， ∵反比例函数y=（k≠0）经过点B， ∴k=4×（﹣2）=﹣8； 当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8， ∴B（4，﹣8）， ∴k=4×（﹣8）=﹣32； 综上可知k的值为﹣8或﹣32， 故答案为：﹣8或﹣32． =3， 【点评】本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得PC的长是解题的关键，注意分两种情况． 17．（3分）（2017•盘锦）如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 2 ． 第16页（共34页） 【分析】求出△OAB和△AOC都是等边三角形，求出∠BOC=120°，根据弧长公式求出圆锥的半径，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：连接AB，AC，∵BC为OA的垂直平分线， ∴OB=AB，OC=AC， ∴OB=AB=OA，OC=OA=AC， ∴△OAB和△AOC都是等边三角形， ∴∠BOA=∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°， 设圆锥的底面半径为r，则2πr=解得：r=1， 这个圆锥的高为故答案为：2． =2， ， 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，弧长公式等知识点，能求出圆锥的半径是解此题的关键． 18．（3分）（2017•盘锦）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=xx于点B3，…，按照此规律进行下于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y=第17页（共34页） 去，则点An的横坐标为 ． 【分析】由点A1的横坐标可求出点B1的坐标，进而可得出A1B1、A1B2的长度，由1+A1B2=可得出点A2、B2的坐标，同理可求出点A3、An的坐标，此题得解． 【解答】解：∵AnBn+1∥x轴， ∴tan∠AnBn+1Bn=当x=1时，y=x=． ， ）， =﹣1． ∴点B1的坐标为（1，∴A1B1=1﹣∵1+A1B2=，A1B2=， ∴点A2的坐标为（∴A2B2=﹣1，A2B3=，），点B2的坐标为（=﹣， ，1）， ∴点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，同理，可得：点An的坐标为（故答案为：． ，）． ）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，通过解直角三角形找出点A2、A3、…、An的坐标是解题的关键． 三、解答题（19小题8分，20小题10分，共18分） 第18页（共34页） 19．（8分）（2017•盘锦）先化简，再求值：（a=（π﹣）0+（）﹣1． +）÷，其中【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（===， ）0+（）﹣1=1+2=3时，原式==1． + ）÷ 当a=（π﹣【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 20．（10分）（2017•盘锦）如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7） 【分析】如图延长CA交OM于K．承办方求出OB、AB的长，分别求出时间即可判断． 【解答】解：如图延长CA交OM于K． 第19页（共34页） 由题意∠COK=75°，∠BOK=60°，∠COK=45°，∠CKO=90°， ∴∠KCO=15°，∠KBO=30°，OK=KA， ∵∠KBO=∠C+∠BOC， ∴∠C=∠BOC=15°， ∴OB=BC=50（km）， 在Rt△OBK中，OK=OB=25（km），KB=在Rt△AOK中，OK=AK=25（km），OA=25∴AB=KB﹣AK≈17.5（km）， ∴从A码头的时间=从B码头的时间=++=3.4（小时）， =3（小时），3＜3.4， OK=25（km）， ≈35km， 答：这批物资在B码头装船，最早运抵海岛O． 【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21．（14分）（2017•盘锦）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料． 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 第20页（共34页） （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图． （2）若该班同学没人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？ 饮品名称 自带白开 瓶装矿泉 碳酸饮料 非碳酸饮水 平均价格（元/瓶） （3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？ （4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率． 【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图； （2）由各类的人数可得其总消费，进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元； （3）用总人数乘以样本中的人均消费数额即可； （4）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%=50人， ∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人， 补全条形统计图如下： 0 水 2 3 料 4 第21页（共34页） （2）该班同学用于饮品上的人均花费==2.6元； （3）我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元． （4）列表得： 女 ﹣﹣﹣ （女，女） 女 女 男 男 女 女 女 男 男 （女，女） （女，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （男，男） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） （女，男） （女，男） （女，男） （男，男） 或画树状图得： 所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种， 所以P（恰好抽到一男一女）==． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（12分）（2017•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合第22页（共34页） 时，解答下列问题： （1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上； （2）求出边A1C1所在直线的解析式； （3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标． 【分析】（1）如图作A1H⊥x轴于H．在Rt△A1OH中，由A1H=3，∠可得OH=A1H•tan30°=，求出点A坐标即可解决问题； （2）利用待定系数法即可解决问题； （3）分三种情形讨论即可解决问题； 【解答】解：（1）如图作A1H⊥x轴于H． 在Rt△A1OH中，∵A1H=3，∠A1OH=60°， ∴OH=A1H•tan30°=， ∴A1（，3）， ∵x=时，y=﹣×+4=3， ∴A1在直线y=﹣x+4上． （2）∵A1（，3），C1（2，0）， 设直线A1C1的解析式为y=kx+b，则有， 解得， ∴直线A1C1的解析式为y=﹣x+6． （3）∵M（4，0），A1（，3），C1（2，0）， 第23页（共34页） A1OH=60°， 由图象可知，当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时，P1（3P2（5，﹣3），P3（﹣，3）． ，3）， 【点评】本题考查一次函数综合题．平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 23．（12分）（2017•盘锦）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数） 【分析】小慧：设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合x的取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可； 小杰：根据小慧中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可． 【解答】解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410﹣10（x﹣100）=1410﹣10x， 由题意得，y=（x﹣80）（1410﹣10x） 第24页（共34页） =﹣10x2+2210x﹣112800， 当y=8580时，﹣10x2+2210x﹣112800=8580， 整理，得：x2﹣221x+12138=0， 解得：x=102或x=119， ∵当x=102时，销量为1410﹣1020=390， 当x=119时，销量为1410﹣1190=220， ∴若要达到8580元的利润，且薄利多销， ∴此时的定价应为102元； 小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800=﹣10（x﹣∵价格取整数，即x为整数， ）2+， ∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300， 答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值． 24．（12分）（2017•盘锦）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长． 【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°； （2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD=2第25页（共34页） ，CD=4，根据三 角形的面积公式得到DH==4，由勾股定理得到OH=，得到BE==3，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE=，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠90°， ∴BD⊥AC． ∵AB=BC， ∴AD=DC． ∵OA=OB， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD． ∴直线DE是⊙O的切线． （2）过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC=，∴BC=10， 设BD=k，CD=2k， ∴BC=k=10， ∴k=2， ∴BD=2，CD=4， ∴DH==4， ∴OH==3， ∵DE⊥OD，DH⊥OE， ∴OD2=OH•OE， ∴OE=， 第26页（共34页） ∴BE=， ∵DE⊥AB， ∴BF∥OD， ∴△BFE∽△ODE， ∴，即， ∴BF=2， ∴EF==． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解． 25．（14分）（2017•盘锦）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长第27页（共34页） 【分析】（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可； （2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）； （3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=EO=a，则FC=FP=2a，EF=（题； 【解答】解：（1）结论：BQ=CP． 理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H． +a，在Rt△PCE中，PC=+）a+==）a，根据PC+CB=4，可得方程（a=4，求出a即可解决问 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点， ∴CO=AO=BO，∠CBO=60°， ∴△CBO是等边三角形， ∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°， ∴∠CHP=∠CPH=60°， ∴△CPH是等边三角形， ∴PC=PH=CH， ∴OH=PB， ∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP， 第28页（共34页） ∵∠OPQ=∠OCP=60°， ∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ， ∴△POH≌△QPB， ∴PH=QB， ∴PC=BQ． （2）成立：PC=BQ． 理由：作PH∥AB交CO的延长线于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点， ∴CO=AO=BO，∠CBO=60°， ∴△CBO是等边三角形， ∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°， ∴∠CHP=∠CPH=60°， ∴△CPH是等边三角形， ∴PC=PH=CH， ∴OH=PB， ∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ， ∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ， ∴△POH≌△QPB， ∴PH=QB， ∴PC=BQ． （3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF． 第29页（共34页） ∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC， ∴∠POC=45°， ∴CE=EO，设CE=EO=a，则FC=FP=2a，EF=在Rt△PCE中，PC=∵PC+CB=4， ∴（+）a+﹣2﹣4， a=4， ， =a， =（+）a， 解得a=4∴PC=4由（2）可知BQ=PC， ∴BQ=4﹣4． 【点评】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 26．（14分）（2017•盘锦）如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标； （3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标． 第30页（共34页） 【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c即可得到结论； （2）由y=x2﹣x﹣2求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论； （3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解析式为y=x﹣3，设E′（m，m﹣3），根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c得，， ∴， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2； （2）设P（m，m2﹣m﹣2）， 在y=x2﹣x﹣2中，当x=0时，y=﹣2， ∴D（0，﹣2）， ∵B（3，﹣2）， ∴BD∥x轴， ∵PE⊥BD， 第31页（共34页） ∴E（m，﹣2）， ∴DE=m，PE=m2﹣m﹣2+2，或PE=﹣2﹣m2+m+2， ∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°， ∴DE=PE， ∴m=m2﹣m，或m=﹣m2+m， 解得：m=5，m=2，m=0（不合题意，舍去）， ∴PE=5或2， P（2，﹣3），或（5，3）； （3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′， 过E′作E′H⊥DE于H， 由（2）知，此时，E（5，﹣2）， ∴DE=5， ∴BE′=BE=2， ∵EE′⊥AB， ∴设直线EE′的解析式为y=x+b， ∴﹣2=×5+b， ∴b=﹣， ∴直线EE′的解析式为y=x﹣， 设E′（m，m﹣）， ∴E′H=﹣2﹣m+=﹣m，BH=3﹣m， ∵E′H2+BH2=BE′2， ∴（﹣m）2+（3﹣m）2=4， ∴m=，m=5（舍去）， ∴E′（，﹣）； ②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′， 过E′作E′H⊥DE于H， 第32页（共34页） 由（2）知，此时，E（2，﹣2）， ∴DE=2， ∴BE′=BE=1， ∵EE′⊥AB， ∴设直线EE′的解析式为y=x+b， ∴﹣2=×2+b， ∴b=﹣3， ∴直线EE′的解析式为y=x﹣3， 设E′（m，m﹣3）， ∴E′H=m﹣3+2=m﹣1，BH=m﹣3， ∵E′H2+BH2=BE′2， ∴（m﹣1）2+（m﹣3）2=1， ∴m=3.6，m=2（舍去）， ∴E′（3.6，﹣1.2）， 综上所述，E的对称点坐标为（，﹣），（3.6，﹣ 第33页（共34页） 1.2）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第34页（共34页） 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/942c12193a68011ca300a6c30c2259010202f319.html