高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

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高中文科数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 3、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

b4acb2b4acb21,)；,) *二次函数：（1）顶点坐标为(（2）焦点的坐标为(2a4a2a4a

4、几种常见函数的导数

'

①C0；②(x)nx

x'

x

n'

n1

； ③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

x

''

'

⑤(a)alna；⑥(e)e； ⑦(logax)

x'

11'

；⑧(lnx) xlnax

5、导数的运算法则

u'u'vuv'

(v0). （1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv. （3）()2

vv

'

'

'

'

'

'

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时： (1) 如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值； (2) 如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．指数函数、对数函数

分数指数幂 (1)a(2)a

mn

nam（a0,m,nN，且n1）.



mn



1a

mn



1

n

am

（a0,m,nN，且n1）.



根式的性质

第1页（共12页）

（1）当n为奇数时，ana；当n为偶数时，nan|a|有理指数幂的运算性质 (1) aaa

rsr

rsrr

r

s

rs

n

a,a0

.

a,a0

(a0,r,sQ).

(2) (a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

.指数式与对数式的互化式: logaNbabN(a0,a1,N0).

.对数的换底公式 :logaN 对数恒等式：a推论 logambn

常见的函数图象

y

y

y

logmN

(a0,且a1,m0,且m1, N0).

logma

logaN

N(a0,且a1, N0).

n

logab(a0,且a1, N0). m

y

y

k<0

o

k>0

x

o

a<0

x

2-1

o1

y=x+-2

1x

x

y=ax

0

1

o

x

y=logax

0

a>1

y=kx+b

a>0

o

1a>1

x

y=ax2+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

sin

. cos

9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；

k



2

的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

第2页（共12页）

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sin



cos2



，



cossin2

．

6sin



cos2



，



cossin．

2

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

10、和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan

tan().

1tantan

11、二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan

. tan2

1tan2

1cos2

2cos21cos2,cos2;

2

公式变形：

1cos2

2sin21cos2,sin2;

2

12、函数ysin(x)的图象变换

①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原

来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象． ②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数 

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移



个单位长度，得到函

数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到

第3页（共12页）

原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象． 13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性质

函

数

ysinx

ycosx ytanx

图象

定义域

R R



xxk,k

2

值域

1,1

当时

1,1

k

；

当

当x2k

R

x2k

，



2

k时，

既无最大值也无最小值

ymax1ymax1；当x2k

最值

x2k



2

k时，ymin1．



奇函数

k时，ymin1．

周期性奇偶性

在

2

2

奇函数偶函数



2k,2k 22

在

k上是增函数；在

单调性

2k,2kk上是增

2k,2k

在k

函数；在









2

,k



 2

32k,2k 22

k上是减函数．

k上是增函数．

k上是减函数．

对称中心

对称性

对称轴x

k,0k

k



2

对称中心k

k











,0k 2

对称中心无对称轴

k

,0k 2

对称轴xk

k

第4页（共12页）

14、辅助角公式

yasinxbcosxa2b2sin(x) 其中tan

15.正弦定理：

b a

abc

2R（R为ABC外接圆的半径）. sinAsinBsinC

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

16.余弦定理 17.面积定理

111

ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111

（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222

（1）S

18、三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)



CAB2C22(AB). 222

19、a与b的数量积(或内积)

ab|a||b|cos

20、平面向量的坐标运算

(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2. (3)设a=(x,y)，则a21、两向量的夹角公式

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

x2y2

cos

ab



|a||b|

x1x2y1y2xyxy

21

21

22

22

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

22、向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0

a//bba x1y2x2y10.

ab(a0) ab0x1x2y1y20.

*平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

第5页（共12页）

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,

( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an

ss,n2nn1

24、等差数列的通项公式

an).

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

25、等差数列其前n项和公式为

sn

n(a1an)n(n1)d1

na1dn2(a1d)n. 2222

a1n

q(nN*)； q

26、等比数列的通项公式

ana1qn1

27、等比数列前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq

,q1,q1

sn1q 或 sn1q.

na,q1na,q1

11

四、不等式

xy28、、二定（xy是定值或者xy是定值）、三相xy。必须满足一正（x,y都是正数）

2

等（xy时等号成立）才可以使用该不等式）

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

12s. 4

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1

(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy

(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab

（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

30、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

第6页（共12页）

①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21. 31、平面两点间的距离公式

dA,B(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

32、点到直线的距离

d

|Ax0By0C|

AB

2

2

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

2

2

2

33、圆的三种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(D2E24F＞0).

2

2

xarcos

（3）圆的参数方程 .

ybrsin

222

* 点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

若d(ax0)(by0)，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点

2

2

P在圆内.

34、直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

2

2

2

dr相离0; dr相切0;

dr相交0. 弦长=2r2d2

AaBbC

其中d.

22AB

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

x2y2cb2222

椭圆：221(ab0)，acb，离心率e12<1，参数方程是

abaa

xacos

. 

ybsin

x2y2cb

c2a2b2，双曲线：221(a>0,b>0)，离心率e1，渐近线方程是yx.

aaba

pp2

抛物线：y2px，焦点(,0),准线x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的

22

距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababa

x2y2xyb

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababa

第7页（共12页）

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，

abab

0，焦点在y轴上）.

37、抛物线y2px的焦半径公式抛物线y2px(p0)焦半径|PF|x0离。）

38、过抛物线焦点的弦长ABx1

2

2

p

.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距2

pp

x2x1x2p. 22

六、立体几何

39.证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

40．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

41.证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

42．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 43．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 44．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；

第8页（共12页）

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl

2r2

2

rlr圆椎侧面积=rl，表面积=

1

V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31

V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

432

球的半径是R，则其体积VR,其表面积S4R．

3

(x1,y1,z1)46、若点A，点BdA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

(x2,y2,z2)

，则

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

x1x2xn12222

方差:s[(x1x)(x2x)(xnx)]

nn1

[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] 标准差:sn

平均数:x

50、回归直线方程（了解即可）

nn



xixyiyxiyinxy

bi1ni1n

2yabx，其中22.经过（x，y）点。 xxxnxii

i1i1

aybx

n(acbd)22

51、独立性检验 K（了解即可）

(ab)(cd)(ac)(bd)

52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重．．．．．．．．．复、不遗漏）

八、复数

53、复数的除法运算

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

. 22

cdi(cdi)(cdi)cd

54、复数zabi的模|z|=|abi|=a2b2.

55、复数的相等：abicdiac,bd.（a,b,c,dR） 56、复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b2.

第9页（共12页）

57、复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)

acbdbcad

2i(cdi0). 222

cdcd

58、复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C，有

交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 .

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

2x2y2

cosx55、  y

sinytan(x0)

x

十、命题、充要条件

充要条件（记p表示条件，q表示结论）

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

56.真值表互逆原命题ｐ真真假假

ｑ真假真假

非ｐ假假真真

ｐ或ｑｐ且ｑ真真真假真假假假

若p则q互

否否命题若┐p则┐q

互为为互

逆否

逆命题若q则p

互否逆否命题若┐q则┐p

逆否

互逆

十一、直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线

第10页（共12页）

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

(0,)

② 两条异面直线所成的角θ∈ 2；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定

第11页（共12页）

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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