论文4“平面截正方体所得截面是什么图形
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平面截正方体所得截面是什么图形 安徽省砀山县第二中学 朱奇勇(2013.6)1 2013年高考安徽省理科数学试题第15题: 如图正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点.过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为s,则下列命题正确的是___（写出所有正确命题的编号） ①当0时,s为四边形； ②当CQ=1/2时,s为等腰梯形；
③当CQ=3/4时,s与C1D1的交点R满足C1R=1/2； ④当3/4时,sD'A'
B'C'
为六边形；
⑤当CQ=1时,s面积
QD为6
.
P
C
2
A
B
这道题是平面截正方体所得截面问题，那么平面截正方体所得截面到底是哪些图形呢?
2下面7个图形给出截面的四种形状
图1 三角形（1）
图2 三角形（2）
图4 四边形（2）图3 四边形（1）是平行四边形或菱形是梯形
或矩形或正方形
图6 五边形（有两图5 四边形（梯形）
组对边分别平行）
图7 六边形（或正六边形）
3 2013年高考安徽省理科数学试题第15题图示解析: ① ② ③ ④
⑤
答案：①②③⑤
4有关练习题
(1)(2013合肥三模理数15) 15.如图，
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P,Q,R分 别是棱BC,CD,DD1的中点.下列命题：
①过A1C1且与CD1平行的平面有且只有
一个；
②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形；
③AC1与平面PQR所成的角为60°; ④线段EF与GH分别在棱A1B1和CC1上
运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH体积的最大值是1
12
⑤线段MN是该正方体内切球的一条直径，点O在正 方体表面上运动，则OM.ON
的取值范围是[0，2].
其中真命题的序号是145_____（写出所有真命题的序号）.
(2)用一个平面去截
正方体，所得的截面不可能是( A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形 (3)用一个平面截正方体，所得截面是1个三角形，则剩余的那个大几何体一定有 （ ）个面 (4)如图，正方体的棱长为
cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是________ cm．
⑶由截面的形状想象几何体
如下表，已知由平面截圆柱、正方体、球、
三棱柱和长方体所得截面的形状，请你想象这些形状的截面可能是截哪个（哪些）几何体得到的，并填写下表：
截面形圆 正方形 长方形 三角形
状
可能的
几何体
5结论：正方体的截面分类
正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最多经过六个面。所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形。
(1)截面是三角形。用一平面截正方体,当平面经过从同一点发出的三条棱,即经过正方体的三个面时,所得的截面的形状是锐
角三角形(这一点可用高中数学线面角的知识进行证明,此略),包括一般锐角三角形,也可以是特殊的锐角三角形,如等腰三角形、等边三角形,但不可能是直角和钝角三角形。
(2)截面是四边形。用一个平面截正方体,当平面恰好经过正方体的四个面时,所得截面是四边形,其中可能是普通的平形四边形,或正方形、长方形、菱形和梯形(但不可能是直角梯形,证明略)。
①用平行于正方体任何一个面的平面去截正方体时,得到的截面是正方形。 ②如图1、图2所示方式切截时,得到的截面是长方形。
③如图3的方式所得截面为梯形。 (3)截面是五边形。用平面截正方体,当平面不经过一个面(或者只经过这平面上的一个顶点),即只经过正方体的五个面时,所得截面是五边形(必有两组分别平行的边,因为一个平面与两平行平面分别相交,两条交线必平行),不可能有任何一个角是直角(证明略)。如图4。
(4)截面是六边形。用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形(特殊的,当截面与正方体各棱的交点为棱的中点时,截面是正六边形)。
6联想。其他几何体的截面 ①.圆柱体的截面分类 (1)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,截面为圆形。 (2)长方形。当截面与圆柱体的底面垂直时,截面为长方形,特殊情况下截面形状为正方形。
(3)类似于梯形但不是梯形。当截面与上下两底面的交线长不相等时,截面类似于梯形,但截面在圆柱侧面上留下的痕迹不是线段而是曲线段,所以不是梯形的两腰,如图5。 (4)椭圆形。当截面与圆柱的底面成一锐角时,截面为椭圆形或椭圆形的一部分(当截面需要延伸才能与底面相交时)。
②圆锥体的截面 (1)三角形。当截面经过圆锥体的顶点时,截面是三角形。 (2)圆形。当截面与圆柱体的底面平行时,
截面为圆形。 (3)椭圆形。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。这时平面既不垂直也不平行于圆锥的轴线,如图6。 (4)抛物面。如果平面平行于圆锥的母线,则截面为抛物面,截面边缘是一段曲线(称为抛物线)和一直线段围成的封闭图形,如图7。
(5)当截面去截两个对顶的圆锥且截面平行于圆锥的轴线时,截面为双曲面,截一个圆锥就是半双曲面,如图8。
因此,椭圆、抛物线、双曲线被统称为圆锥曲线。
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c5c70642ac1ffc4ffe4733687e21af45b207fe79.html