*欧阳光明*创编 2021.03.07 反三角函数典型例题 欧阳光明（2021.03.07） 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）arcsin2；（2）arcsin4；（3）sin(arcsin2)；（4）arcsin(sin2)。 点评：arcsinx——x[1,1]。 例2：求下列反正弦函数值 （1）arcsin32 解：3 （2）arcsin0 解：0 1arcsin()2 解：6 （4）arcsin1解：2 （3）点评：熟练记忆：0，212、2，32，1的反正弦值。 1sin(arcsin)24该如何求？ 思考：例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x 3x[,]22解：x＝arcsin5 (1)，x[,]2变式：? sinx353x[,]x[0,]22，sin(π－x)＝sinx＝5 解：时，π－∴π－x＝arcsin35，则x＝π－arcsin3535 35 变式：x[0,]? 解：x＝arcsin(2)sinx31x[,2]4，2 或x＝π－arcsin11x[,]xarcsin22解：4 4，变式：解：sinxx[31,2]x[0,]22，sin(2π－x)＝－sinx＝4 时，2π－1x＝2π－arcsin4 1∴2π－x＝arcsin4，则*欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 x[,]x[,]22时，xarcsina；而当22，可以将角转化到区点评：当间[2,2]上，再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。 练习： 3(1)sinx2，x[2,2] 解：x3 (2)sinx33，x[0,] 解：xarcsin33或xarcsin33 (3)sinx35，x[2,332] 解：xarcsin5 例4：求函数y2arcsin(52x)的定义域和值域。 解：由152x1，则x[2,3]，arcsin(52x)[2,2]，则y[,]。变式：ysinxarcsinx 解：x[1,1]，y[sin12,sin12] 思考：当x[34,4]时，求函数yarcsin(cosx)的值域。 解：当x[34,4]时tcosx[22,1]，而yarcsint为增函数，y[4,2]。 例5：求下列函数的反函数 (1)ysinx，x[2,] 解：y[0,1]，x[2,0]且sin(x)sinxy，则xarcsin(y)，则xarcsiny，则反函数是f1(x)arcsinx，x[0,1]。 (2) yarcsinx，x[0,1] 解：y[0,2]，xsiny，则反函数是f1(x)sinx，x[0,2]。 [例6] 求下列反三角函数的值： (1) arccos32＝6(2) arccos(232)＝4（两种方法） 3(3) arccos0＋arctan1＝4 (4)arctan(3)＝3 115(5) arcsin (－2)＋arccos (－2)＝2 (6) arctan(tan6)＝6 *欧阳光明*创编 2021.03.07 则 *欧阳光明*创编 2021.03.07 [例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x： (1) cosx13，x[0,] 13，x[,2] 解： xarccos13 13 变式：cosx解：x2arccostanx2,x(,)22 (2) 解：xarctan(2) 3x(,)22 变式：解：xarctan2 [例8](1) 已知arcsinxarcsin(1x)，求x的取值范围。 1x1211xx1解：由，得。 (2) arccosxarccos(1x) (3) (4) arctanxarccosx3 3 解：由1x1x1，得3 0x12。 解：x1x12 解：[例9求y＝arcsinx＋arctanx的值域。 3解：∵－1≤x≤1∴－43≤y≤4——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性 [例10] 求下列各式的值： (1) sin(arccos(2))3 22)cosx3，则37sinxx[,]3 2且，则解：设(2) xarccos(tan[arccos(2)]26 313(31)2tan()2343213解： 13cos2(arccos)25 (3) 解：设(4) xarccos3x1cosx43x[0,]cos2cosx5，则2，则225 5且sin[arctan123arcsin]55 *欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 解：设则arctan123124arcsintan,(0,)sin2， 5，5，则5，5且sin[arctan1231245333arcsin]sin()5513513565。 11arctanarctan23的值呢？ 思考：若求解：arctan1111arctantan,(0,)tan2，2，则2，2， 3且∵tan()1，且(0,)，∴*欧阳光明*创编 2021.03.07 4。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c657e76c30687e21af45b307e87101f69e31fb12.html