高数上册知识点总结
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高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y 三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 a x )， 例如： lim x2 x x 1 lim x 0 x 1 x x 0 x 4、两个重要极限： (1) lim sin x x 1 (2) lim 1 x x x 0 e lim 1 x 1 e x 0 x g( x) x x 0 经验公式：当 x x0 , f (x) 1 0, g( x) lim 3 x x ， lim 1 f ( x) lim f (x) g( x) ex x0 例如： lim 1 3x x x 0 ex 0 e 3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y | x | 连续但不可导。 lim x x0 6、导数的定义： lim f ( x x 0 x) x f ( x) f '( x) f ( x) f ( x0 ) x x0 f ' x0 df g (x) dx 7、复合函数求导： f ' g (x) g'(x) 1 x , y' 1 2 x x 例如： y x 2 x 1 2 x 4 x2 x x 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2 y2 1 例如： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x 2yy' 0 y' dy dx x y x y 法 ( 2),左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy 9、由参数方程所确定的函数求导：若 y g(t ) ，则 dy dy / dt x h(t ) dx dx / dt g '(t ) h'(t ) ，其二阶导数： d2 y dx2 d dy / dx dx d (dy / dx) d g' (t ) / h'(t ) dt dt dx / dt f ( x0 h' (t ) x) f (x0 ) x 10、微分的近似计算： f ' (x0 ) 例如：计算 sin 31 11、函数间断点的类型： (1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y sin x （ x=0 是 x 函数可去间断点） ， y sgn(x) （ x=0 是函数的跳跃间断点） (2)第二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f ( x) sin 1 （ x=0 是函数的振荡间断点） ， y x 1 （ x=0 是函数的无穷间 x 断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y lim f ( x) c x 铅直渐近线： 若，lim f ( x) x a ，则 x a是铅直渐近线 . 斜渐近线： 设斜渐近线为 y ax b,即求 a lim f ( x)x ,b lim f (x) ax x x x3 x2 x 1 例如：求函数 y x2 1 的渐近线 13、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 ≥f(x0) ，称 x0 是 f(x) 的极小值点；否则，称 称极值点。 是驻点。 14、极值点： 令函数 y=f(x) ，给定 x0 的一个小邻域 u(x0, δ), 对于任意 x∈ u(x0, δ )，都有 f(x) x0 是 f(x) 的极大值点。极小值点与极大值点统 15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 16、拐点的判定定理：令函数 17、极值点的必要条件：令函数 18、改变单调性的点： 点，也可能是不可导点） 19、改变凹凸性的点： y=f(x) ，若 f"(x0)=0 ，且 x0 ；x>x0 时， f"(x)<0 或 x； x>x0 时， f"(x)>0 ，称点 (x0 ，f(x0)) 为 f(x) 的拐点。
y=f(x) ，在点 x0 处可导，且
x0 是极值点，则 f'(x0)=0 。
f ' ( x0 ) 0 ， f ' ( x0 ) 不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻
0
， f ' '( x0 ) 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于
f " ( x ) 0
零的点，也可能是二阶导数不存在的点）
20、可导函数 f(x) 的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理：
(1) 罗尔定理： f (x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 (2) 拉格朗日中值定理：
，使得 f '( ) 0
f ( x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点
，使得
f (b) f (a) (b a) f ' ( )
(3) 积 分 中 值 定 理 ： f (x) 在 区 间 [a,b]
b
上可积，至少存在一点
， 使 得
f ( x)dx (b
a
a) f ( )
22、常用的等价无穷小代换：
x ~ sin x ~ arcsinx ~ arctanx ~ tan x ~ ex 1 ~ 2( 1 x 1) ~ ln(1 x)
1 cosx ~ x2
2
1
3
tan x sin x ~ x, x sin x ~ x , tan x x ~ x
2 6 3
1
3
1
3
1
23、对数求导法：例如，
y
x ， 解：ln y
x
xln x
1
y' ln x 1
y'
xx ln x
1
y
24、洛必达法则：适用于“ ”型，“
0
”型，“0
”型等。当
0
x l
xx
0
x0 , f (x)
i m
0 / , g (x)
m
xx
0
0 / ， f '( x), g ' (x) 皆 存 在 ， 且 g'( x) 0 ， 则
f ( x)
l i
f ' ( x)
例如，lim
ex sin x 1 0
lim
ex cosx 0
2x
3
x
lim
ex sin x
2
5
1
g (x)
g' ( x)
x 0
x2
lim
x
0 x 0
x 1 2 2 x 3
5
0 x 0
lim
2
25、无穷大：高阶 +低阶 =高阶
例如，
x2 2x 3 2x
4
2x
26、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法（凑微分法）
(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：
1) 三角换元：
a 2 x2 ，可令
x asin t ； x2 a2 ，可令 x a tant ； x2 a2 ，可令 x a sect 2)当有理分式函数
x
中分母的阶较高时，常采用倒代换
1 t
27、分部积分法：
udv uv
vdu ，选取 u 的规则“反对幂指三” ，剩下的作
e
v。分部积
分出现循环形式的情况，例如：
x
3 xdx xdx
cos , sec
28、有理函数的积分：
例如：
3x 2 3 dx x(x 1)
1
2(x 1) 3 dx 2 1 2 dx x( x 1) x( x 1)
x
1 3 dx
x 1
x 1
2
其中，前部分
x( x 1)
2 dx 需要进行拆分，令
1
2
x 1 x x( x 1)
x 1 (x 1)
x( x 1)
x( x 1)
2
1 x
1 x 1
1
(x 1)2
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c74db7aa6adc5022aaea998fcc22bcd126ff4280.html