高数知识点总结

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高数重点知识总结

1、基本初等函数:反函数(y=arctanx)对数函数(y=lnx)幂函数(y=x)指数函数(yax)三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

x2xx

lim1 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:lim

x0x0xx

sinx

4、两个重要极限:(1)lim1

x0x

(2)lim1xe

x0

1

x

1

lim1e x

x

g(x)

x

经验公式:当xx0,f(x)0,g(x)lim1f(x)

xx0

e

xx0

limf(x)g(x)



例如:lim13xe

x0

1x

3xlimx0x

e3

5、可导必定连续,连续未必可导。例如:y|x|连续但不可导。 6、导数的定义:lim

x0

f(xx)f(x)

f'(x)

x

xx0

lim

f(x)f(x0)

f'x0

xx0

7、复合函数求导:

dfg(x)f'g(x)g'(x) dx

例如:yxx,y'

2x2x1 2xx4x2xx

1

1

8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx

x2y21

,2x2yy'0y'例如:解:法(1),左右两边同时求导

x

ydyx

(2),左右两边同时微分,2xdx2ydy

dxy

9、由参数方程所确定的函数求导:

yg(t)dydy/dtg'(t)其二阶导数:dxdx/dth'(t)xh(t)

d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)

dyddy/dxdtdt 2dxdxdx/dth'(t)

2

10、微分的近似计算:f(x0x)f(x0)xf'(x0) 例如:计算 sin31


11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:y

sinx

x=0x

是函数可去间断点)ysgn(x)x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:f(x)sinx=0是函数的振荡间断点)y数的无穷间断点) 12、渐近线:

水平渐近线:ylimf(x)c

x

1x

1

x=0是函x

铅直渐近线:若,limf(x),则xa是铅直渐近线.

xa

斜渐近线:设斜渐近线为yaxb,即求alim

x

f(x)

,blimf(x)ax

xx

x3x2x1

例如:求函数y的渐近线

x21

13、驻点:令函数y=f(x),若f'(x0)=0,称x0是驻点。

14、极值点:令函数y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意xu(x0,δ),都f(x)f(x0),称x0f(x)的极小值点;否则,x0f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理:令函数y=f(x),若f"(x0)=0,且x0x>x0时,f"(x)<0xx>x0时,f"(x)>0,称点(x0f(x0))f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件:令函数y=f(x),在点x0处可导,且x0是极值点,则f'(x0)=0 18、改变单调性的点:f'(x0)0f'(x0)不存在,间断点(换句话说,极值点可能是驻点,也可能是不可导点)

19、改变凹凸性的点:f"(x0)0f''(x0)不存在(换句话说,拐点可能是二阶导数等于零的点,也可能是二阶导数不存在的点)

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理:

(1)罗尔定理:f(x)[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点使得f'()0 (2)拉格朗日中值定理:f(x)[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点,使得

f(b)f(a)(ba)f'()

(3)f(x)[a,b]使

b

f(x)dx(ba)f()

a


22、常用的等价无穷小代换:

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1~2(1x1)~ln(1x)

1

1cosx~x2

2111

tanxsinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3

263

23、对数求导法:例如,yxx解:lnyxlnx

1

y'lnx1y'xxlnx1 y

24、洛

000

xx0,f(x)0/,g(x)0/f'(x),g'(x)g'(x)0

xx0

lim

f(x)f'(x)

lim

g(x)xx0g'(x)



exsinx10excosx0exsinx1limlimlim x0x20x02x0x022

25、无穷大:高阶+低阶=高阶 例如, lim26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法(凑微分法)

(3)第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1)三角换元:a2x2,可令

x122x33

2x5

x

x22xlim4 5x2x

3

xasintx2a2,可令xatantx2a2,可令xasect 2)当有理分式函

数中分母的阶较高时,常采用倒代换x

27、分部积分法:udvuvvdu,选取u的规则“反对幂指三”,剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况,例如:excosxdx,sec3xdx

1

t






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