第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量: 一般,设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数: F(x,y)P{(Xx)(Yy)}P(Xx,Yy) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称随机变量X和Y的联合分布函数 分布函数F(x,y)具有以下基本性质: 1.F(x,y)是变量x和变量y的不减函数, 即对于任意固定的y,当x2x1,F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2y1,F(x,y2)F(x,y1) 2.0≤F(x,y)≤1,且 对于任意固定的y,F(-∞,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-∞)=0, F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1 3.F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续 4.对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,下述不等式成立 F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)0 离散型随机变量: 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型随机变量 称P{Xxi,Yyi}pij,i,j1,2,……为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X和Y是联合分布律 表格形式表示联合分布律: Y X y1 x1 … … xi … … p11 pi1 ………… 离散型随机变量X和Y的联合分布函数为 F(x,y)pij,其中和式是对一切满足xix,yiy的i,j来求和的 xixyiy yj … p1j pij … … … 连续型随机变量: 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y有 F(x,y)yxf(u,v)dudv,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度 概率密度的性质: 1.f(x,y)≥0 2.f(x,y)dxdyF(,)1 3.设G是xOy平面上的区域,点(X,Y)落在G内的概率为 P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy G4.若f(x,y)在点(x,y)连续,则有 2F(x,y) f(x,y) xy 一般,设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设X1X1(e),X2X2(e),…,XnXn(e),是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量 对于任意n个实数x1,x2,^,xn,n元函数F(x1,^,xn)P{X1x1,^,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,^,Xn的联合分布函数。 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y)。而X和Y都是随机变量,各别也有分布函数,将它们分别记为FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数 边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)所确定: Fx(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(X,),即FX(x)F(x,), 同理得,FY(y)F(,y) 对于离散型随机变量,有 FX(x)F(x,)pij xjxj1pi=P{Xxi}pij,i1,2,… j1pj=P{Yyj}pij,j1,2,… i1分别称为(X,Y)关于X和关于Y边缘分布律 对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度为f(x,y),有 FX(x)F(x,)f(x,y)dydx x有X的概率密度: fX(x)f(x,y)dy 同理, fY(y)f(x,y)dxP{Yyj 分别称fX(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度 条件分布: 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Yyj}0,则称 P{Xxi|Yyj}P{Xxi,Yyj}P{Yyj}pijpj,i1,2,… 为在Yyj条件下随机变量X的条件分布律 同样地, 若P{Xxi}0,则称P{Yyj|Xxi}P{Xxi,Yyj}P{Xxi}pijpi,j1,2,… 为Xxi条件下随机变量Y的条件分布律 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y,fY(y)0,则称f(x,y) fY(y)xf(x,y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度,fY(y)记为fX|Y(x|y)x称fX|Y(x|y)dxf(x,y)dx为在Y=y的条件下,X的条件分布函数,记为fY(y)xP{X≤x|Y=y}或FX|Y(x|y),即FX|Y(x|y)P{Xx|Yy} f(x,y)dx fY(y)设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},即F(x,y)FX(x)FY(y),则称随机变量X和Y是相互独立的 设(X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则X和Y相互独立的条件等价于f(x,y)fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外,处处成立) 定理: 设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互独立(即F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,则Xi(i1,2,…,m)和Yj(j1,2,…,n)相互独,yn)F1(x1,…,xm)F2(y1,…,yn))立。又若h,g是连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…Yn)相互独立。 两个随机变量的函数的分布: 1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为 FZ(z)P{Zz}xyzf(x,y)dxdy 这里的积分区域G:x+y≤z是直线x+y=z及其左下方的半平面 FZ(z)P{Zz}zyxyzf(x,y)dxdy =[f(x,y)dx]dy 令x=u-y,得 FZ(z)zf(uy,y)dudy[f(uy,y)dy]du z于是有Z的概率密度为 fZ(z)f(zy,y)dy 由X,Y的对称性,得 fZ(z)f(x,zx)dx 卷积分公式(记为fXfY): fXfY=fX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dx 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y) 1)M=max(X,Y) Fma(Yz}, xz)P{Mz}P{Xz,Yz}P{Xz}P{ 即Fmax(z)FX(z)FY(z) 2)N=min(X,Y) Fmi(nz)P{Nz}1P{NZ}1P{XZ,Yz}=1P{Xz}P{Yz}, 即Fmin(z)1[1FX(z)][1FY(z)] 一般地,设X1,X2,^,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为X1,X2,^,Xn)及Nmin(X1,X2,^Xn)的分布函FXi(xi)(i1,2,^,n),则Mmax(数分别为 Fma(xz)FX1(z)FX2(z)…FXn(z), Fmin(z)1[1FX1(z)][1FX2(z)]…[1FXn(z)] 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/c88ec4fe2bea81c758f5f61fb7360b4c2e3f2a64.html