费马大定理
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费马大定理 作为世界三大数学猜想之一，费马大定理是对人类智慧的极大挑战。它是由法国数学家费马提出：当整数n >2时，关于x, y, z的方程xn + yn = zn没有正整数解。该问题从提出到1995年被安德鲁·维尔斯（Andrew J. Wiles0）解决，整整历时358年。三个多世纪以来，历代数学家和数学爱好者为之倾注心血，取得了一次又一次轰动性的大突破，同时产生了数学的新思想、新分支，这些分支在很大程度上影响了现代数学的发展方向。 一、猜想提出 古希腊数学家丢番图（Diophontus）曾在著作《算术》中论述过x2 + y2 = z2 的一般求解方法。法国数学家费马对其进行了推广和研究。他在该书第11卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”旁用拉丁文写下了一句话，大意是“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种巧妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”上述的批注是费马死后五年发表的。事实上，他的后人翻箱倒柜，也只找到了n=4的证明，费马对这一证明颇为得意，自命为“无穷递降法”。为了证明方程X4+Y4=Z4没有正解数解，费马从假设存在一个正整数解着手，通过研究X1，Y1，Z1的性质，证明：如果这个假定解确实存在一个更小的解X2，Y2，Z2（Z2）；然后再通过研究这个新解的性质，又能证明存在一个还要小的解X3，Y3，Z3(Z3，这样一直进行下去，便找到了一列逐步递减的解，结合正整数X,Y,Z必定会有一个最小的可能解存在得出矛盾。因此证明了n=4时的猜想。这一证明使得费马大定理的证明进入考虑素数指数的阶段。对这一猜想的证明更引起了数学界的兴趣。随后的三百多年间，上百名最优秀的数学家为了证明它付出了巨大的精力，其中有欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利赫勒、拉梅、柯西、库默等。
二、法尔廷斯
1922年，英国数学家莫德尔（Lewis J. Mordell）提出一个著名猜想：亏格的代数曲线上的有些点数目只有有限多个。如果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程x^n+y^n=z^n本质上最多有有限多个整数解。1983年，德国数学家法尔廷斯（Faltings）证明了莫代尔猜想。“粗略地说就是：三个变量高于四次的齐次代数方程最多只能有有限多个整数解。”[1] 由此证明了最多有有限多个整数X,Y,Z满足Xn+Yn=Zn。他的结果被认为是上世纪的一个杰出数学成就，他因此而获得1986年的菲尔兹（Fields）奖。由于莫德尔猜想的证明，数学家看出了费马大定理的可证性。
三、谷山丰
1971年，埃莱古阿计（YresHellegouarch），最早把椭圆曲线与费尔马大定理联系起来，然而，符莱（Gerhard Frdy）却是第一个把方向扭转到正确轨道上的人。1955年，日本数学家谷山丰在会议上研究了椭圆曲线的参数化问题。他提出猜想，“主要内容是：有理数域上的椭圆曲线均为模曲线。这里有理数域上的椭圆曲线粗略说是指有理数为系数的三次方程表示的曲线；它是模曲线意思是它的（不计某些素数P的整数倍时）整数解个数N有1某些特殊性质。”[2]一条曲线的参数化对于曲线表示和研究曲线的性质有很大帮助，这在中学学习解析几何时我们就已经看到了。椭圆曲线是三次曲线，它也可以用一些函数进行参数表示。但是，如果参数表示所用的函数能用模形式，（模函数是上半复平面上处处亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广），则我们称之为模曲线。之后数学教志村五郎又将其发扬光大。只要证明了谷山-志村猜想（即每个椭圆方程一定是模形式），那么就隐含费马方程无解，于是就可证得费马大定理。
四、猜想成立
英国数学家安德鲁·维尔斯正是沿着谷山-志村猜想的思路，经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破，并宣布证明了谷山-志村猜想的一大部分，但其中仍有漏洞。
维尔斯发现自己的证明有漏洞后，陷入了困境。之后他放弃了难以修复的欧拉系统法，从新研究原来的环论老方法，调整了思路，找到了迷失的钥匙。终于在1994年9月19日完成了长篇论文“莫椭圆曲线和费马大定理”，证明了谷山-志村猜想一费马大定理。“维尔斯对椭圆曲线E的研究是通过伽罗华表示。设P3是伽罗华群作用在E的三分点的表示，并设它不可约，在3是半稳的。”为判定P3的每个适当提升军事模提升，他给出了判则。“第二个判则是某些极小亥克环为完全交。对某些情形验证这些判则，就可给出无限多条模椭圆曲线。与泰勒的合作使怀尔斯证明了第二判定，再以巧妙的方法处理P3可约的情形，怀尔斯就完全证明了他的主定理：有理数域上半稳椭圆曲线均为模曲线。由此特别知道：如果an+bn=cn则y2=x(x-an)(x=bn)是模曲线。而瑞拜特已证明它不是模曲线。所以不可能有an+bn=cn，这就证明了费尔马大定理。”（参见[2]）
在费马大定理的攻克历程中，数学家们产生了许多新思想、新方法与新分支，这充分证明了数学问题对数学发展具有积极的推动作用。受费马问题的启发，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）引入虚数，成功运用无穷递降法证明了n=3的情况；库默尔引进了理想数，并发现了把分圆域的理想数分解为理想指数的唯一分解定理„„
数学是在不断发展之中的，因此对于数学问题的探讨与研究也是永无止境的。数学上还有许多数学问题与猜想有待证明，随着这些问题、猜想的解决，势必会推动数学更进一步的发展。 参考文献：
[1]张贤科费尔马大定理—怀尔斯的证明[J] [2]张贤科费尔马大定理最新进展[J]
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/d1810b7443323968011c92b8.html