近一百年来数学界的一些争议，此处不是我专长所在，错漏之处还望知友海涵。 第一个就是选择公理。数学公理不是随意制订的，而是依赖于自然经验和逻辑。在数学界，选择公理也是一般被接受的。选择公理和佐恩引理等价。 佐恩引理：在任何一个非空的偏序集中，如果任何链（即一个全序子集）都有上界，那么这个偏序集必然存在一个极大元素。 对 一个大家可以想象的集合还说，比如自然数，实数，选择公理是符合想象的（首先要与其它公理没有矛盾那是必须的）。可是因为拓扑学的发展（尤其是 Grothendieck拓扑），空间的概念被大大拓展（为证明某些定理也成为必须），很多集合开始变得严重不可数（可数集合即能够与自然数形成一一对应 的集合，比如有理数，偶数，整数甚至整系数多项式方程的解的集合都是可数，而实数集不可数）。对于这些无法用人脑想象的集合，有人提出了“可数选择公 理”，即选择公理仅对可数集合成立。这并不是没有道理的，很多时候“可数选择公理”已经足够，但仍然有很多定理需要用到完整的选择公理。顺便说一下，如果 我们在证明过程中不用到选择公理证明，一般优越于用到选择公理，即使证明过程中用到的定理很可能已经使用过选择公理。 另一个想要说的是 universe的存在性，这个争议更大。因为universe的存在性甚至都不能通过ZFC公理系统推导出来（ZFC公理系统已经包含了选择公理）。 universe在范畴理论中有很大的应用，但同样也有很多数学家试图彻底回避universe。很遗憾，我的研究经常需要用到范畴，我甚至自己都不知道 我到底需不需要假设universe的存在性,毕竟当代数学研究已经在公理体系的基础上堆砌了太多。就当假设了吧，至少跟公理系统不自相矛盾。 最 后再说一个最近的数学热点吧。最近日本数学家Mochizuki在自己的主页贴出了ABC猜想的证明，姑且不说是否有逻辑上的不严谨，他的证明中就用到了 很多类似universe的东西的存在性（这些假设是否与常用的公理体系矛盾我还不知道）。尽管这位Mochizuki出身显贵，在数学界颇有名气，目前 主流的观点对他的证明还不认可。最终结果如何，希望时间能带给我们答案。 同日更新 前文提到的争议是建立在数学基础上的争议，观点不同，整个数学的面貌会完全不同。但是正如@陳浩在 评论中指出的，只是体系不同而已，双方各说各话，而且整个数学的主流基本是承认选择公理和Universe的，所以其实现在争议不大。值得指出的是，在其 它答案中提到的各种主义的冲突本质上都是基于数学基础的争议，现在主流的观点也是基本得到广泛承认的。比如说代数几何的基础是交换代数，而要证明交换代数 中任意含单位元交换环存在极大理想就会用到选择公理。 数学家关于数学问题当然还有其它争议。接下来我要开启八卦模式。 一个是关于 数学理念的争议，我心中最有名的例子莫过于特征p下黎曼猜想的证明。在Weil提出他著名的Weil猜想（特征p下黎曼猜想）之 后，Grothendieck看到了希望。他洋洋洒洒写下了EGA，SGA几千页的巨著，给代数几何这座大厦打下了坚实的基础，并提出了雄心勃勃的 Standard conjectures和Motive计划（有人说他有两年在巴西工作时只在饿的时候吃香蕉）。只要证明这些东西，很多大的猜想包括Weil猜想就是水到 渠成的事。可是这两样东西现在都没有实现，Deligne倒是在Grothendieck的基础上用l-adic的方法绕过这两点巧妙证明了Weil猜 想。江湖传言，Grothendieck不太高兴，大概想法就是：打败敌人你应该用"浩然正气"，怎么能用旁门左道呢？于是经过了很多纠 结，Grothendieck在上世纪80年代初退隐山林，在回忆录中毫不客气的批评了他曾经的弟子，并于几年前宣布收回EGA，SGA的版权，不再允许 任何机构出版。 还有一个想说的是关于数学某个学科发展的争议。以下材料均来源于志村五郎自传：The map of my life。志村五郎应该是那种很狂的数学家了，能够让他尊重的数学家大概只有Weil吧。他在自传中声称他在50年代末到70年代初做的工作，当时根本没 有人懂。好像除了Weil比较欣赏他以外，他觉得其他人都看不到他的工作的意义。大概他跟Grothendieck通过几封信，经他解释 Grothendieck似乎也懂了那么一点点。但是总体来说，数学界尤其是美国数学界不觉得他能折腾出什么东西。嗯，现在事实证明，他做的东西在算术几 何中是非常非常重要的。 这些都是数学家关于具体数学问题的小争议，完全在个人层面。大家就当听故事吧。 @陳浩在他的答案中提到了布尔巴基，这个也很好玩。布尔巴基学派和俄罗斯大牛阿诺尔德的争议也相当有趣，不是具体的数学问题，但也是足以写进数学史影响数学发展的大事件。我实在懒得讲故事了，有兴趣的知友自己搜索吧。 欢迎补充有趣的故事。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f026c63f0740be1e650e9a60.html