折纸中的平行四边形 福建省闽清县城关中学 张维强 学完了平行四边形的判定之后，我给学生上了一节活动课，利用一张长方形纸片让学生折平行四边形，并根据平行四边形的判定进行说理和证明。学生参与探索的积极性非常高，既动手操作，又结合说理与证明，提高了应用知识解决实际问题的能力，收到了很好的教学效果，现实录教学过程，与同行共同商讨。 在复习了平行四边形的五个判定方法后，我展示了一张长方形纸片，要求学生利用正方形纸片折EH出一个平行四边形，并说出理由。 AD最先传上来的是如图1所示的图形，长方 形ABCD中，沿BE折叠，使点A与BC边上 的点F 重合；沿DG折叠，使点C与AD边上 的点H 重合。则四边形BGDE是不是平行四边 BCFG形呢？你能用学过的平行四边形判定来证明四边 图1形BGDE是平行四边形吗？大家动手探索证明的方法， 以证明两组对边分别平行为例证明如下： 证明：如图1，∵四边形ABCD是长方形，∴ AD∥BC，∠ABC=∠C=90゜，∵ 点A沿BE折叠与BC边上的点F 重合，∴∠EBF=1∠ABC=45゜，同理,∠CDG=45゜，∴ ∠DGC=90゜-∠CDG=45゜，∴2∠EBF= ∠DGC，∴ BE∥DG , 由AD∥BC知，BG∥DE，∴四边形BGDE是平行四边形。 第二个传上来的如图2所示，长方形ABCD沿EF对折，折痕为EF，则四边形BFDE是不是平行四边形呢？显然，图2中 BF与DE平行 EADH且相等。所以四边形BFDE是平行四边形。 第三个传上来的如图3（1）所示，BD是长方形ABCD 的对角线，沿BE折叠，使点A与对角线上的点G重合， 沿DF折叠，使点C与对角线上的点H重合，则四边形 GCBBFDE是平行四边形吗？ F 分析：如图3（2），若能证明AE=CF，则有DE=BF， 图2而显然有DE∥BF，故 由一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 知，四边形BFDE是平 行四边形。如何证明 （1）（2）AE=CF呢？可由△ABE 图3与△CDF全等而得， 证明：如图3（2），∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=∠ABC=90゜， AD∥BC，∴ ∠1=∠2，又∵点A折叠后与点G重合，∴ ∠3=ABC1901902=。同理，∠4=。222∴ ∠3=∠4，在△ABE和△CDF中，∠A=∠C，AB=CD，∠3=∠4，∴ △ABE≌△CDF，∴ AE=CF，而AD=BC，∴ BF=DE，又AD∥BC，∴ BF∥DE，∴ 四边形BFDE是平行四边形。 第四个传上来的如图4所示，长方形ABCD沿EF对折，折痕为EF，沿EG折叠，使点A落在EF上，沿FH折叠，使点C落在EF上，则四边形EGFH是平行四边形吗？ 分析：长方形ABCD沿EF对折，从而AE=CF= 1AD， 21 ∠ AEF=90°，点A沿EG折叠，点A落在EF上，所以， A∠GEF=∠HFE=45°，则EG∥FH，又易证△AEG与△CFH 全等，可得EG=FH，所以四边形EGFH是平行四边形。 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，∠A= ∠C=90゜，∵长方形ABCD沿EF对折，∴ AE=EDHB1CF=BC，∴ AE=CF，又∵点A沿EG折叠，点A落在EF上， 21AD， 2GC图4F∴ ∠GEF=∠AEG=45°，同理，∠HFE=∠CFH=45°，∴ ∠GEF=∠HFE，∴ EG∥FH， 在△AGE和△CHF中，∠A=∠C，AE=CF，∠GEF=∠HFE，∴△AGE≌△CHF，∴ GE=HF， ∴ 四边形EGFH是平行四边形。 第五个传上来的如图5所示，长方形ABCD沿EF对折， EMDA折痕为EF，沿BM折叠，使点A与EF上的点G重合，沿 DN折叠，使点C与EF上的点H重合，则四边形BNDM是 G平行四边形吗？ 分析：显然有BN∥DM ，直接证明△ABM≌△CDN有一定 H的困难, 关键要能发现题目中的隐含条件：Rt△BFG≌Rt△DEH， BC从而是∠FBG=∠EDH，进而得出∠MBG=∠NDH，则 FN∠MBF=∠NDE，由AD∥BC得，∠AMB=∠MBF，所以， 图5∠AMB=∠NDE，则BM∥DN，又及BN∥DM ，从而四边形BNDM是平行四边形。 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠CDA=90゜，∵长方形ABCD沿EF对折，∴ ∠BFG=∠DEH=90°，AE=11AD，CF=BC，∴ AE=CF，又∵沿BM折叠，使点A22与EF上的点G重合，∴ BG=AB，同理，DH=CD，而AB=CD，∴ BG=DH，∴ Rt△BFG≌Rt△DEH，∴ ∠FBG=∠EDH，∴ ∠MBG=90FBG90EDH,同理，∠NDH=，从而∠MBG=∠NDH，22∵ AD∥BC，∴ ∠AMB=∠MBF，∴∠AMB=∠NDE，∴ BM∥DN，显然BN∥DM ，∴四边形BNDM是平行四边形。 至此，教师对上述折法中的特殊折痕进行了归纳总结，作为作业，教师鼓励学生继续探索寻找新的折法并加以证明。 由于学生亲自参与了折平行四边形的过程，探索证明所折图形是平行四边形的方法，在活动中获得了应用知识解决具体问题的成功体验。折法是自己找到的，问题是自己解决的，这样的学习是主动和有热情的，关键是学习与探究的内容来源于学生，而非 出于教师的预设和安排。这就是这节课的成功所在。 课后，学生仍然延续着这种探索活动，陆续又找到了其他的折法，图6、图7是其中典型的两例。 G E AD AHEDGHBBF图6CF图7C 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/eebe52dc9d3143323968011ca300a6c30c22f1a8.html