球体积、表面积公式推导过程

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球体积公式V



43



R推导过程

3

图一图二

对于一个球体，直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想，在球体内

放一些大小不同，高度相同的圆柱。（如图一）当每个圆柱的高度越来越小时，所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时，所有圆柱的体积和就是球的体积。（如图二）

按照这个思路，我们来求球的体积。

设球的体积为V，半径为R，每个圆柱的高为a，则半个球中有nn



R



,nZ个圆柱。 a

图三中的圆为球的一个轴截面，其中的矩形是圆柱

的轴截面。圆的圆心为原点，所以这个圆的方程式为

x

2



y

2



在y轴左侧，从左到右圆柱的序号（用R。

2

b表示）分别为1，2，3，…n,则圆柱底面圆的半径

r

b



R

2



b1aR（注意：r

2

1

0）

图三

V2

V1V2V3...V

n



r1a

2

a

r

r2a

2

2

2

r3a...r

2n2

2

21



r2r3...



r

2n

a

2

a0R



aR

2

R

2

2aR

2

...2

R

2

n1aR



2

2



a2aR





2n1aR4aR4...n1aaa

2

aa

2



2Ra4R4a...2n1R





2R12..n1

a1

2

n1a



2

2

2

2

...

n1



2



aa

Ra

2

nn1an1n2n12R26a2n1nn1R6



2

把n代入上式，得



22

V2



a

2

2

Ra

R

a21

RaR

a6





RR

3

2Ra

aRR

62



2

23



3

R

3

6

R

2

a



R

2

a

R

2

aR6

a

2



R

2343

aR

Ra

62

当a无限趋于0时

V

2



RR

3

V

3

球表面积公式S

4

R推导过程

2

我们可以把球表面分成n个面积相等的网格。当n趋于无穷大时，每个网格与球心组

成的几何体便可看作一个锥体，且锥体的高为球的半径。

设球的体积为V，表面积为S，半径为R

VnS

13RSn

3VR43

V

R

2

3

S4

R

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f16105095a0102020740be1e650e52ea5518ce9c.html

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