1.。3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积.它的高就是“小圆片”的厚度，底面就是“小圆片”的下底面. 由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： ，（i＝1,2，3，···，n） 第i层“小圆片"的体积为： V≈π·＝，（i＝1,2，3，···，n） 半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn ≈{1＋(1－）＋（1－)＋···＋[1－］} ＝[n－]（注:) ＝［n－＝）＝ ① 当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积. 事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时,趋向于0，这时，有 V半径＝，所以,半径为R的球的体积为： V＝ 1。。3。2球的体积和表面积（2） 球的表面积推导方法(设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2,…… Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn 把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”.例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分,底面是“曲”的.如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样)，这时，每一个“小锥体"就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。 （2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn 那么球的体积为:V＝V1＋V2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S'i，于是，它的体积为： V’i＝hi S’i,（i＝1，2,…，n） 这样就有：Vi≈hi S’i，（i＝1,2,…，n） V≈（h1 S’1＋h2 S’2 ＋…＋hn S’n） ① （3）转化为球的表面积.分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi (i＝1,2，…，n)就趋向于R，S’i就趋向于 Si，于是,由①可得：V＝RS 又V＝，所以，有＝RS 即： S＝4πR2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/1b4de933e1bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d591.html