1..球的体积和表面积（1） 设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： Rn，底面RriR2[(i1)]2n，（i＝1,2,3，···，n） 第i层“小圆片”的体积为： R2V≈πri·n＝R3i11nn2（i＝1,2,3，···，n） ，半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn ≈R312{1＋（1－2nn22）＋（1－2n(n1)2）＋···＋［1－n2］（注：12］} ＝R31222•••(n1)2［n－nn222•••n21n(n1)(2n1)） 611(1)(2)R1(n1)n(2n1)(n1)(2n1)33nn ＝［n－2•＝R(1）＝R12n66n6n3 ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n增大，V半径11就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时，有 nn2343＝R，所以，半径为R的球的体积为： V＝R 33 1..球的体积和表面积（2） 球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，…… Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn 把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。 （2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn 那么球的体积为：V＝V1＋V2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S’i，于是，它的体积为： 1h S’，（i＝1,2,…，n） 31这样就有：V≈h S’，（i＝1,2,…，n） 31V≈（h S’＋h S’ ＋…＋h S’） 3V’i＝iiiii1122nn ① （3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi （i＝1,2,…，n）就趋向于R，S’i就趋向于 Si，于是，由①可得：V＝1RS 3 S＝4πR 2又V＝4341R，所以，有R3＝RS 即： 333 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a1d0ba9eff4733687e21af45b307e87100f6f8f1.html