函数的周期性 1．周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数一个值时，都有．．．．T，使得当x取定义域内的每．．．．f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？ 2 常见函数的最小正周期 正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= 2π 2ππy=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= πy=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T= f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题 结论：有的周期函数没有有最小正周期 3抽象函数的周期总结 1、f(xT)f(x) yf(x)的周期为T 2、f(xa)f(bx) (ab) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a 4、f(xa)c (C为常数) yf(x)的周期为T2a f(x)1f(x) yf(x)的周期为T2a 1f(x)1 yf(x)的周期为T4a f(x)15 f(xa) 7、 f(xa) 8、f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T4a 1f(x)9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a 10、f(xn2)f(xn)f(xn1)；（它是周期函数，一个周期为6） 11、yf(x)有两条对称轴xa和xb（ab) yf(x) 周期T2(ba) 12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x) 周期T2(ba) 13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)yf(x) 周期T4(ba) 14、奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T4a。 15、偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T2a。 练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=11 ③f(x+a)=－ f(x)f(x)④f(x+a)=f(x)1 ⑤f(x+a)=f(x-a) T= ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) T=6a f(x)1十一 对称性加奇偶性得到周期 f(x)为偶函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=2a f(x)为奇函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=4a eg：练1：（07天津7）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( ) A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]上是减函数，在区间 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f26f8a974228915f804d2b160b4e767f5acf80fb.html