函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)， ．．．．T，．．．．那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= 2π 2ππy=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T= π f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、f(xT)f(x) yf(x)的周期为T 2、f(xa)f(bx) (ab) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a 4、f(xa)c (C为常数) yf(x)的周期为T2a f(x)5 f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T2a 1f(x)1 yf(x)的周期为T4a f(x)1 6、 f(xa) 7、f(xa)1f(x) yf(x)的周期为T4a 1f(x)8、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a 9、f(xn2)f(xn)f(xn1)；（它是周期函数，一个周期为6） 10、yf(x)有两条对称轴xa和xb（ab) yf(x) 周期T2(ba) 11、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x) 周期T2(ba) 12、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)yf(x) 周期T4(ba) 13、奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T4a。 14、偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T2a。 四、对称性加奇偶性得到周期 1. f(x)为偶函数且f(a+x)=f(a-x)则T=2a 2.f(x)为奇函数且f(a+x)=f(a-x)则T=4a 练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) 11f(x)1 ③f(x+a)=－ ④f(x+a)= ⑤f(x+a)=f(x-a) f(x)f(x)f(x)11、函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)f(x2) D.f(x3)是奇函数 2、设fx是定义域为R的函数，且fx2又f222，则f2006= 1fx1fx，3、定义在R上的函数f(x)满足f(x)log2(1x),x0,则f(2011)的值为（ ） f(x1)f(x2),x0(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)2 4、定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题： （1）若f(x)是偶函数，则f(x3)的图象关于直线x3对称 （2）若f(x3)f(3x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称 （3）若f(x3)=f(3x)，且f(x4)f(4x)，则f(x)的一个周期为2。 （4）yf(x3)与yf(3x)的图象关于直线x3对称。 其中正确命题的序号为 。 11、若f(x)为定义在R上的函数，且f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)为（ ） A． 奇函数且周期函数； B. 奇函数且非周期函数； C． 偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数． 14、已知函数fx满足: f11,4fxfyfxyfxyx,yR,则4f2010=_____________. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2c39974969eae009581bec46.html