二次函数学问点归纳 1.定义：一般地，假如yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax的性质 （1）抛物线yax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax（a0）. 3.二次函数 yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxh22222222b4acb2k的形式，其中h，k. 2a4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；2⑤yaxbxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号确定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形态一样. ②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特殊地，y轴记作直线x0. 7.顶点确定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数a一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4acb2bb4acb2（，） （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线. x2a4a2a2a4a22 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线2xh. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失. 9.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用 （1）a确定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样. 22 （2）b和a共同确定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线 2xbbb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0（即a、2aaab异号）时，对称轴在y轴右侧. （3）c的大小确定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置. 当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a0时 开口向上 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) 22b0. ayax2 yaxk yaxh 2x0（y轴） 2x0（y轴） xh xh xb 2a2yaxhk 当a0时 开口向下 yaxbxc 2b4acb2，() 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c). 2 （2）与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ahbhc). 22 （3）抛物线与x轴的交点 2 二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两2个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式断定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f38a4a1d13661ed9ad51f01dc281e53a5802519e.html