第31届中国数学奥林匹克 江西 鹰潭 第一天 （2015年12月16日 8:00~12:30） 1. 设正整数a1,a2,,a31,b1,b2,,b31满足： (1) a1a2a312015,b1b2b312015； (2) a1a2a31b1b2b31。 求S 2. 如图，凸四边形ABCD中，K,L,M,N分别是边AB,BC,CD,DA上的点，满足： abii131i的最大值。 AKDABLABCMBCDNCD,,,. KBBCLCCDMDDANAAB延长AB,DC交于E点，延长AD,BC交于点F。设△AEF的 内切圆在边AE,AF上的切点分别为S,T；△CEF的内切圆在 边CE,CF上的切点分别为U,V。 证明：若K.L,M,N四点共圆，则S,T,U,V四点共圆。 3. 设p是奇素数，a1,a2,,ap是整数。证明以下两个命题等价： (1) 存在一个次数不超过有fiaimodp。 pp12(2) 对每个不超过的正整数d，都有aidai0modp，这里下标按模p理2i1p1的整系数多项式fx，使得对每个不超过p的正整数i，都2解，即apnan。 第31届中国数学奥林匹克 江西 鹰潭 第二天 （2015年12月17日 8:00~12:30） 4. 设整数n3，不超过n的素数共有k个。设A是集合2,3,,n的子集，A的元素个数小于k，且A中任意一个数不是另一个数的倍数。 证明：存在集合2,3,,n的k元子集B，使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数，且B包含A。 5. 在平面中，对任意给定的凸四边形ABCD，证明：存在正方形ABCD（其顶点可以按顺时针或逆时针标记），使得A/A,B/B,C/C,D/D，且直线AA/,BB/,CC/,DD/经过同一个点。 6. 一项赛事共有100位选手参加。对任意两位选手x,y，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以xy表示x战胜y。如果对任意两位选手x,y，均能找到某个选手序列u1,u2,,uk，////k2，使得xu1u2uky，那么称该赛事结果是“友好”的。 (1) 证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数m满足如下条件： 对任意两位选手x,y，均能找到某个长度为m的选手序列z1,z2,,zm（可以有重复），使得xz1z2zmy。 (2)对任意一个友好的赛事结果T，将符合(1)中条件的最小正整数m记为mT。求mT的最小值。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/fa1ce4a2ddccda38366baf07.html