国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第11届） 1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数． 2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2n-1 cos(an + x)， 其中 ai 是实数常量，x是实数变量．现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 π 的整数倍． 3. 对每一个k = 1， 2， 3， 4， 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1． 4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足．K1 是三角形ABC的内切圆， 圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切．求证：圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公切线． 5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线．求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点． 6. 给定实数x1， x2， y1， y2， z1， z2， 满足 x1 > 0， x2 > 0， x1y1 > z12， x2y2 > z22，求证： 8(x1x2)(y1y2)(z1z2)2≤1x1y1z121x2y2z22 并给出等号成立的充分必要条件． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9549fd2d0722192e4536f66c.html