国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第25届） 1. 求证 0 ≤yz + zx + xy - 2xyz ≤ 7/27， 其中x， y， z 是非负实数并满足x + y + z = 1. 2. 试找出所有的正整数对（a，b）满足 ab(a+b)不能被 7 整除， 但 (a+b)7 - a7 - b7 可被77整除． 3. 给定平面上的点O、A．平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个．设X是平面上一给定点，以O为圆心的圆C(X)的半径是 OX + (∠AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范围是[0， 2л)），求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上． 4. 凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切，求证：AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的． 5. 设 d 是平面上一凸 n 边形（n>3）的所有对角线的长度之和，p 是它的周长．求证: n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2， 其中[x]表示不超过x的最大整数． 6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且 ad = bc. 若a + d = 2k 及 b + c = 2m 对某k、m成立，则 a = 1. 1 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a7cc56be915f804d2b16c1a1.html