高一年级数学必修一电子课本|新课标高一年级数学必修三知识点

副标题:新课标高一年级数学必修三知识点

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【#高一# 导语】学习是一个坚持不懈的过程,走走停停便难有成就。比如烧开水,在烧到80度是停下来,等水冷了又烧,没烧开又停,如此周而复始,又费精力又费电,很难喝到水。学习也是一样,学任何一门功课,都不能只有三分钟热度,而要一鼓作气,天天坚持,久而久之,不论是状元还是伊人,都会向你招手。®文档大全网高一频道为正在努力学习的你整理了《新课标高一年级数学必修三知识点》,希望对你有帮助!

  【一】

  1.集合的有关概念。

  1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

  注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

  ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

  ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

  2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

  3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

  4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

  2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

  1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);

  2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)

  3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}

  4)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}

  5)补集:CUA={x|xA但x∈U}

  注意:①?A,若A≠?,则?A;

  ②若,,则;

  ③若且,则A=B(等集)

  3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

  4.有关子集的几个等价关系

  ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

  ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

  5.交、并集运算的性质

  ①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;

  ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

  6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

  【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z},则M,N,P满足关系

  A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

  分析一:从判断元素的共性与区别入手。

  解答一:对于集合M:{xx=,m∈Z};对于集合N:{xx=,n∈Z}

  对于集合P:{xx=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。

  分析二:简单列举集合中的元素。

  解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

  =∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,

  =P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。

  点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

  变式:设集合,,则(B)

  A.M=NB.MNC.NMD.

  解:

  当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

  【例2】定义集合A*B={xx∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

  A)1B)2C)3D)4

  分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

  解答:∵A*B={xx∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

  变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

  A)5个B)6个C)7个D)8个

  变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

  解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

  集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

  评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.

  【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

  解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

  ∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

  ∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

  ∴∴

  变式:已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

  解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

  ∴B={xx2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

  又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

  ∴b=-4,c=4,m=-5

  【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={xx>-2},且A∩B={x1<>

  分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

  解答:A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

  <><-1或x>

  综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

  变式1:若A={xx3+2x2-8x>0},B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

  点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

  变式2:设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

  解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

  ①当时,ax-1=0无解,∴a=0②

  综①②得:所求集合为{-1,0,}

  【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

  分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。

  解答:(1)若,在内有有解

  令当时,

  所以a>-4,所以a的取值范围是

  变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

  解答:

  点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

  选择题

  1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

  ⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

  (A)4(B)5(C)6(D)7

  2.集合{1,2,3}的真子集共有

  (A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

  3.集合A={x}B={}C={}又则有

  (A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

  4.设A、B是全集U的两个子集,且AB,则下列式子成立的是

  (A)CUACUB(B)CUACUB=U

  (C)ACUB=(D)CUAB=

  5.已知集合A={},B={}则A=

  (A)R(B){}

  (C){}(D){}

  6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为

  {1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{}是有限集,正确的是

  (A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

  (C)只有(2)(D)以上语句都不对

  7.设S、T是两个非空集合,且ST,TS,令X=S那么S∪X=

  (A)X(B)T(C)Φ(D)S

  8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式,则不等式ax2+bx+c0的解集为

  (A)R(B)(C){}(D){}

  填空题

  9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

  10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B,则x=

  11.若A={x}B={x},全集U=R,则A=

  12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

  13设集合A={},B={x},且AB,则实数k的取值范围是。

  14.设全集U={x为小于20的非负奇数},若A(CUB)={3,7,15},(CUA)B={13,17,19},又(CUA)(CUB)=,则AB=

  解答题

  15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3},求实数a。

  16(12分)设A=,B=,

  其中xR,如果AB=B,求实数a的取值范围。

  答案:

  选择题

  12345678

  CCBCBCDD

  填空题

  9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

  解答题

  15.a=-1

  16.提示:A={0,-4},又AB=B,所以BA

  (Ⅰ)B=时,4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

  (Ⅱ)B={0}或B={-4}时,0得a=-1

  (Ⅲ)B={0,-4},解得a=1

  综上所述实数a=1或a-1

  【二】

  一、集合有关概念

  1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

  2、集合的中元素的三个特性:

  1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性

  说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

  (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

  (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

  (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

  3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  2.集合的表示方法:列举法与描述法。

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系—子集

  注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

  结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

  ①任何一个集合是它本身的子集。AíA

  ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

  ③如果AíB,BíC,那么AíC

  ④如果AíB同时BíA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  三、集合的运算

  1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

  记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

  2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

  3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

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